解三次方程，根以正切表示。

01 / 鞏固#獨立練習

x^3-3\sqrt3x^2-3x+\sqrt3=0

官方試卷 · jm02-2023 · 4(b)(ii) · PDF 6

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

設 x=tanθ，−π/2<θ<π/2。

提示 2

把三倍角正切比值與 √3 對應。

完整解答

潛在分母零點 x=±1/√3 都不是原三次式的根，因此可相除。
$\frac{3x-x^3}{1-3x^2}=\sqrt3\iff\tan3\theta=\sqrt3$
求解並限制 θ 在所選區間。
$\theta=\pi/9+n\pi/3\implies\theta=-2\pi/9,\pi/9,4\pi/9$
換回全部三個實根。
$x=\tan(-2\pi/9),\ \tan(\pi/9),\ \tan(4\pi/9)$

tan(−2π/9)、tan(π/9)、tan(4π/9)。

檢查與易錯點：只取 √3 的主反正切會遺漏兩個三次方程根。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
潛在分母零點 x=±1/√3 都不是原三次式的根，因此可相除。
$\frac{3x-x^3}{1-3x^2}=\sqrt3\iff\tan3\theta=\sqrt3$
求解並限制 θ 在所選區間。
$\theta=\pi/9+n\pi/3\implies\theta=-2\pi/9,\pi/9,4\pi/9$
換回全部三個實根。
$x=\tan(-2\pi/9),\ \tan(\pi/9),\ \tan(4\pi/9)$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2023 JM02