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學習・解釋・訂正

求 y=x+4 與 y=x³+3x²+x 圍成的面積。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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專題 01

2023 JM02

相切會產生重交點根，但仍可形成有界區域。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

求 y=x+4 與 y=x³+3x²+x 圍成的面積。

官方試卷 · jm02-2023 · 2(b)(ii) · PDF 4

官方原卷及參考答案 ↗ · 參考答案 PDF 頁 9

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

求所有交點橫坐標。

提示 2

上方直線減去下方曲線。

完整解答

分解兩者之差。
$x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2=0\implies x=-2,1$
有界區間內被積式非負。
$A=\int_{-2}^1(4-x^3-3x^2)\,dx=\left[4x-\frac{x^4}4-x^3\right]_{-2}^1=\frac{27}4$

面積為 27/4。

檢查與易錯點：相切會產生重交點根，但仍可形成有界區域。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
分解兩者之差。
$x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2=0\implies x=-2,1$
有界區間內被積式非負。
$A=\int_{-2}^1(4-x^3-3x^2)\,dx=\left[4x-\frac{x^4}4-x^3\right]_{-2}^1=\frac{27}4$

先思考，待同學準備好再展開提示。