← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

證明經 A 的非垂直直線相切的充要條件為 9m²−(k−mh)²+4=0。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

返回課節／試卷 ↗

專題 01

2023 JM02

此斜率式只適用非垂直切線，垂直情況須另處理。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

證明經 A 的非垂直直線相切的充要條件為 9m²−(k−mh)²+4=0。

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1,\quad A=(h,k)\text{ outside the ellipse}

官方試卷 · jm02-2023 · 3(a)(i) · PDF 5

官方原卷及參考答案 ↗ · 參考答案 PDF 頁 9

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫成 y=mx+d，其中 d=k−mh。

提示 2

相切表示交點方程有重實根。

完整解答

代入並整理 x 的二次式。
$(4+9m^2)x^2+18mdx+9d^2-36=0$
首項係數為正，判別式為零恰好等價於所求條件。
$\Delta=144(9m^2+4-d^2)=0\iff9m^2-(k-mh)^2+4=0$

所述條件為充要條件。

檢查與易錯點：此斜率式只適用非垂直切線，垂直情況須另處理。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
代入並整理 x 的二次式。
$(4+9m^2)x^2+18mdx+9d^2-36=0$
首項係數為正，判別式為零恰好等價於所求條件。
$\Delta=144(9m^2+4-d^2)=0\iff9m^2-(k-mh)^2+4=0$

先思考，待同學準備好再展開提示。