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學習・解釋・訂正

求 A 的兩條橢圓切線互相垂直時的軌跡，並包括垂直切線情況。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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專題 01

2023 JM02

遺漏垂直情況會錯誤刪去四個點。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

求 A 的兩條橢圓切線互相垂直時的軌跡，並包括垂直切線情況。

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1,\quad A=(h,k)\text{ outside the ellipse}

官方試卷 · jm02-2023 · 3(b) · PDF 5

官方原卷及參考答案 ↗ · 參考答案 PDF 頁 9

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

兩斜率有限時使用 m₁m₂=−1。

提示 2

補上垂直及水平切線的交點。

完整解答

有限斜率情況得一圓。
$\frac{k^2-4}{h^2-9}=-1\implies h^2+k^2=13$
遺漏情況為 x=±3 與 y=±2 的交點；皆在同一圓上。
$(h,k)=(\pm3,\pm2)$
此圓每點均在橢圓外，毋須再排除。
$h^2/9+k^2/4\ge(h^2+k^2)/9=13/9>1$

完整圓 x²+y²=13。

檢查與易錯點：遺漏垂直情況會錯誤刪去四個點。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
有限斜率情況得一圓。
$\frac{k^2-4}{h^2-9}=-1\implies h^2+k^2=13$
遺漏情況為 x=±3 與 y=±2 的交點；皆在同一圓上。
$(h,k)=(\pm3,\pm2)$
此圓每點均在橢圓外，毋須再排除。
$h^2/9+k^2/4\ge(h^2+k^2)/9=13/9>1$

先思考，待同學準備好再展開提示。