0≤θ≤π/2，下列方程組有多於一個解，求 θ 及完整通解。

01 / 鞏固#獨立練習

\begin{cases}x+y+z=6\\(\sin2\theta)x+(\sin4\theta)y+(\sin8\theta)z=\sqrt3\\(\cos2\theta)x+(\cos4\theta)y+(\cos8\theta)z=-3\end{cases}

官方試卷 · jm02-2023 · 5(b) · PDF 7

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

非唯一解要求 (a) 的行列式為零。

提示 2

逐個候選 θ 檢查相容性。

完整解答

求候選角。
$\sin\theta\sin2\theta\sin3\theta=0\implies\theta=0,\pi/3,\pi/2$
0、π/2 時第二式成為 0=√3，均不可能。
π/3 時餘弦方程相依；其餘兩式得 y=2、x+z=4。
$x+y+z=6,\quad x-y+z=2\implies(x,y,z)=(4-t,2,t),\quad t\in\mathbb R$

θ=π/3；(x,y,z)=(4−t,2,t)，t∈ℝ。

檢查與易錯點：行列式為零只是必要條件，仍須檢查相容。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
求候選角。
$\sin\theta\sin2\theta\sin3\theta=0\implies\theta=0,\pi/3,\pi/2$
0、π/2 時第二式成為 0=√3，均不可能。
π/3 時餘弦方程相依；其餘兩式得 y=2、x+z=4。
$x+y+z=6,\quad x-y+z=2\implies(x,y,z)=(4-t,2,t),\quad t\in\mathbb R$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2023 JM02