三角函數：綜合評估

1. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$210^{\circ}\cdot\frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{7}6\pi$$

3. 單位改變會改變數值係數，但不改變幾何角。

所求值為 1.16666667。

檢查與易錯點：單位改變會改變數值係數，但不改變幾何角。

1. 甲部推理

2. 使用終邊坐標及正的半徑。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$\cos^2\theta=1-9/25=16/25;\quad\cos\theta=-4/5$$

4. 第二象限決定餘弦為負。

5. 乙部推理

6. 交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。

7. 跨越多個周期記錄足夠觀測，並以殘差及情境檢查擬合曲線。

8. 視覺擬合本身不能確立唯一周期模型。

甲：所求值為 -0.8。 乙：多種振幅、相位與周期均可能符合兩個觀測。

檢查與易錯點：第二象限決定餘弦為負。 視覺擬合本身不能確立唯一周期模型。

1. 利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha=7$$

3. 有定義時，兩者之商保持不變。

所求值為 7。

檢查與易錯點：有定義時，兩者之商保持不變。

1. 從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$x=n\pi,\quad n=0,1,\ldots,7$$

3. 小區間個數與端點個數不同。

所求值為 8。

檢查與易錯點：小區間個數與端點個數不同。

1. 甲部推理

2. 選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$\pi/2<\alpha/2<3\pi/4;\quad\sin(\alpha/2)=\sqrt{4/5}$$

4. 指定區間而非單看終邊象限，才可確定半角正負；α 加上 2π 會令半角正弦變號。

5. 乙部推理

6. 利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$\sin(\pi)+\sin(0)=0$$

8. π 的整數倍位置正弦坐標為零。

甲：為正，等於 2/√5。 乙：所求值為 0。

檢查與易錯點：指定區間而非單看終邊象限，才可確定半角正負；α 加上 2π 會令半角正弦變號。 π 的整數倍位置正弦坐標為零。

1. 分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$y=7;\quad f(x+T)=f(x)\ (T>0)$$

3. 任意小正平移均有效，因此沒有最小者。

常數 7；沒有最小正周期。

檢查與易錯點：任意小正平移均有效，因此沒有最小者。

1. 甲部推理

2. 交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。

3. 跨越多個周期記錄足夠觀測，並以殘差及情境檢查擬合曲線。

4. 視覺擬合本身不能確立唯一周期模型。

5. 乙部推理

6. 選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$\cos\alpha=4/5;\quad\sin2\alpha=2(3/5)(4/5)=24/25$$

8. 銳角條件決定正負號。

甲：多種振幅、相位與周期均可能符合兩個觀測。 乙：所求值為 0.96。

檢查與易錯點：視覺擬合本身不能確立唯一周期模型。 銳角條件決定正負號。

1. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$S=\frac12r^2\theta=\frac{64}2$$

3. 面積單位為半徑單位的平方。

所求值為 32。

檢查與易錯點：面積單位為半徑單位的平方。

1. 甲部推理

2. 使用終邊坐標及正的半徑。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$(4/5)^2+(4/5)^2=32/25\ne1$$

4. 每個值分別在 −1 至 1 內仍不足以保證可行。

5. 乙部推理

6. 交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$h_{\max}=(10)+8=18$$

8. 相應最低高度為 2 米，因此輪仍在地面之上。

甲：不能，因為平方和不為一。 乙：所求值為 18。

檢查與易錯點：每個值分別在 −1 至 1 內仍不足以保證可行。 相應最低高度為 2 米，因此輪仍在地面之上。

1. 甲部推理

2. 利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$\sin(\pi)+\sin(0)=0$$

4. π 的整數倍位置正弦坐標為零。

5. 乙部推理

6. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$-3240\le30+360n\le3240\Rightarrow -9\le n\le8$$

8. 整數 n 須同時符合兩端限制。

甲：所求值為 0。 乙：所求值為 18。

檢查與易錯點：π 的整數倍位置正弦坐標為零。 整數 n 須同時符合兩端限制。

1. 甲部推理

2. 從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$\sin(\pi/2)=1>0=\sin\pi$$

4. 單調性須在合適區間內說明。

5. 乙部推理

6. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$210^{\circ}\cdot\frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{7}6\pi$$

8. 單位改變會改變數值係數，但不改變幾何角。

甲：否：π/2<π，但 sin(π/2)>sin π。 乙：所求值為 1.16666667。

檢查與易錯點：單調性須在合適區間內說明。 單位改變會改變數值係數，但不改變幾何角。

1. 甲部推理

2. 選與結構相符的恆等式，保留符號並檢查分母。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$\cos\alpha=4/5;\quad\sin2\alpha=2(3/5)(4/5)=24/25$$

4. 銳角條件決定正負號。

5. 乙部推理

6. 使用終邊坐標及正的半徑。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$\cos^2\theta=1-9/25=16/25;\quad\cos\theta=-4/5$$

8. 第二象限決定餘弦為負。

甲：所求值為 0.96。 乙：所求值為 -0.8。

檢查與易錯點：銳角條件決定正負號。 第二象限決定餘弦為負。

1. 分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$T=2\pi/8$$

3. 非零振幅與頻率保證不是常數函數。

所求值為 0.25。

檢查與易錯點：非零振幅與頻率保證不是常數函數。

1. 交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$h_{\max}=(10)+8=18$$

3. 相應最低高度為 2 米，因此輪仍在地面之上。

所求值為 18。

檢查與易錯點：相應最低高度為 2 米，因此輪仍在地面之上。

1. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$-3240\le30+360n\le3240\Rightarrow -9\le n\le8$$

3. 整數 n 須同時符合兩端限制。

所求值為 18。

檢查與易錯點：整數 n 須同時符合兩端限制。