幾何與單位
選適當邊長比及角量單位。
學習・解釋・訂正
三角函數的應用
先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。
高一必修 第一册(A版).pdf · 5.7 · PDF 249 / 印刷頁 242
先重溫：函數 y=A sin(ωx+φ)
專題 01
三角函數的應用
透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握三角函數的應用。
學完之後，你能解釋
- 運用三角函數的應用，並明示角量單位及定義域。
- 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
- 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。
周期模型
按情境解釋振幅、中線、周期及相位。
預測 → 操作 → 解釋 → 遷移
先留下預測，再探索關係。
課節思考：計算前，預測「三角函數的應用」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。
模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。
θ+φ=45° = 0.7854 弧度；sin=0.7071，cos=0.7071。圓的半徑為 1。
解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。
遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。
試一試，把思路寫下來。
每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。
4 米長梯與水平地面夾 30°，求頂端高度。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
提示 2
高度是地面夾角的對邊。
完整解答
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
計算或化簡此關係式。
梯長為斜邊，不是水平距離。
所求值為 2。
檢查與易錯點：梯長為斜邊，不是水平距離。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求周期，單位為小時。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
提示 2
一個完整周期令內部角增加 2π。
完整解答
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
計算或化簡此關係式。
周期使用與 t 相同的時間單位。
所求值為 4。
檢查與易錯點：周期使用與 t 相同的時間單位。
先思考，待同學準備好再展開提示。
兩個每日溫度觀測可配正弦曲線，解釋為何預測周期前需要更多觀測。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
提示 2
數出一般正弦模型的未知參數。
完整解答
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
跨越多個周期記錄足夠觀測，並以殘差及情境檢查擬合曲線。
視覺擬合本身不能確立唯一周期模型。
多種振幅、相位與周期均可能符合兩個觀測。
檢查與易錯點：視覺擬合本身不能確立唯一周期模型。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
6 米長梯與水平地面夾 30°，求頂端高度。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
提示 2
高度是地面夾角的對邊。
完整解答
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
計算或化簡此關係式。
梯長為斜邊，不是水平距離。
所求值為 3。
檢查與易錯點：梯長為斜邊，不是水平距離。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求周期，單位為小時。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
提示 2
一個完整周期令內部角增加 2π。
完整解答
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
計算或化簡此關係式。
周期使用與 t 相同的時間單位。
所求值為 6。
檢查與易錯點：周期使用與 t 相同的時間單位。
先思考，待同學準備好再展開提示。
摩天輪半徑 3 米，輪心離地 5 米，求乘客最大高度。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
提示 2
最高點為輪心高度加半徑。
完整解答
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
計算或化簡此關係式。
相應最低高度為 2 米，因此輪仍在地面之上。
所求值為 8。
檢查與易錯點：相應最低高度為 2 米，因此輪仍在地面之上。
先思考，待同學準備好再展開提示。
模型首次在非負時間何時達最大值？
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
提示 2
正弦首次在 π/2 達一。
完整解答
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
計算或化簡此關係式。
之後的最大值每隔完整周期 12 再現。
所求值為 3。
檢查與易錯點：之後的最大值每隔完整周期 12 再現。
先思考，待同學準備好再展開提示。
潮高最大 8 米、最小 4 米，求對稱正弦模型的平均水位。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
提示 2
中線平分兩極值。
完整解答
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
計算或化簡此關係式。
這是正弦模型假設，並非聲稱所有真實潮汐皆如此。
所求值為 6。
檢查與易錯點：這是正弦模型假設，並非聲稱所有真實潮汐皆如此。
先思考，待同學準備好再展開提示。
學生用弧度模式輸入 30 計算 sin 30°，解釋並修正錯誤。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
提示 2
數值輸入須配合所選角量單位。
完整解答
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
計算或化簡此關係式。
角度與弧度是同一角的不同量度尺度。
用角度模式，或在弧度模式輸入 π/6；值為 1/2。
檢查與易錯點：角度與弧度是同一角的不同量度尺度。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
h(t)=1+2cos t 能否模擬必須一直在地面以上的物體高度？說明。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
比較振幅與中線。
提示 2
振幅大於平均高度。
完整解答
比較振幅與中線。
計算或化簡此關係式。
模型可能須限制時間範圍或修正縱向平移。
不能適用所有實數 t，因為模型可達 −1。
檢查與易錯點：模型可能須限制時間範圍或修正縱向平移。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
8 米長梯與水平地面夾 30°，求頂端高度。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
提示 2
高度是地面夾角的對邊。
完整解答
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
計算或化簡此關係式。
梯長為斜邊，不是水平距離。
所求值為 4。
檢查與易錯點：梯長為斜邊，不是水平距離。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求周期，單位為小時。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
提示 2
一個完整周期令內部角增加 2π。
完整解答
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
計算或化簡此關係式。
周期使用與 t 相同的時間單位。
所求值為 8。
檢查與易錯點：周期使用與 t 相同的時間單位。
先思考，待同學準備好再展開提示。
摩天輪半徑 4 米，輪心離地 6 米，求乘客最大高度。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
提示 2
最高點為輪心高度加半徑。
完整解答
交代幾何或周期量及單位，再選三角關係。
計算或化簡此關係式。
相應最低高度為 2 米，因此輪仍在地面之上。
所求值為 10。
檢查與易錯點：相應最低高度為 2 米，因此輪仍在地面之上。
先思考，待同學準備好再展開提示。
課末檢核與訂正
回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。
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教師備課與評核
提問順序
- 使用「三角函數的應用」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
- 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
- 改變一項假設後，原結論還成立嗎？
板書重點
- 運用三角函數的應用，並明示角量單位及定義域。
- 幾何與單位：選適當邊長比及角量單位。
- 周期模型：按情境解釋振幅、中線、周期及相位。
- 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。
預期想法
- 預期理由：選適當邊長比及角量單位。
- 預期理由：按情境解釋振幅、中線、周期及相位。
- 預期修正：配出曲線不等於證明物理定律。
評核清單
- 1：辨識已知條件及所求。
- 1：選取合適定義、表示或方法。
- 1：推理連貫且正確。
- 1：檢驗條件並解釋結果。