伸縮與周期
振幅為 |A|；非恆定圖像的最小正周期為 2π/|ω|。
學習・解釋・訂正
函數 y=A sin(ωx+φ)
先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。
高一必修 第一册(A版).pdf · 5.6 · PDF 238 / 印刷頁 231
先重溫：三角恆等變換
專題 01
函數 y=A sin(ωx+φ)
透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握函數 y=A sin(ωx+φ)。
學完之後，你能解釋
- 運用函數 y=A sin(ωx+φ)，並明示角量單位及定義域。
- 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
- 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。
相位平移
提出 ω 後，水平位移為 −φ/ω。
預測 → 操作 → 解釋 → 遷移
先留下預測，再探索關係。
課節思考：計算前，預測「函數 y=A sin(ωx+φ)」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。
模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。
θ+φ=45° = 0.7854 弧度；sin=0.7071，cos=0.7071。圓的半徑為 1。
解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。
遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。
試一試，把思路寫下來。
每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。
求振幅。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
提示 2
振幅為乘數的絕對值。
完整解答
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
計算或化簡此關係式。
負乘數反射圖像，但振幅不會為負。
所求值為 2。
檢查與易錯點：負乘數反射圖像，但振幅不會為負。
先思考，待同學準備好再展開提示。
把最小正周期寫成 cπ，求 c。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
提示 2
相位不改變周期長度。
完整解答
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
計算或化簡此關係式。
非零振幅與頻率保證不是常數函數。
所求值為 1。
檢查與易錯點：非零振幅與頻率保證不是常數函數。
先思考，待同學準備好再展開提示。
以正振幅的形式表示同一圖像。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
提示 2
半周期平移使正弦變號。
完整解答
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
計算或化簡此關係式。
不同參數可以描述同一圖像。
y=2sin(x+π)。
檢查與易錯點：不同參數可以描述同一圖像。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求振幅。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
提示 2
振幅為乘數的絕對值。
完整解答
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
計算或化簡此關係式。
負乘數反射圖像，但振幅不會為負。
所求值為 3。
檢查與易錯點：負乘數反射圖像，但振幅不會為負。
先思考，待同學準備好再展開提示。
把最小正周期寫成 cπ，求 c。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
提示 2
相位不改變周期長度。
完整解答
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
計算或化簡此關係式。
非零振幅與頻率保證不是常數函數。
所求值為 0.66666667。
檢查與易錯點：非零振幅與頻率保證不是常數函數。
先思考，待同學準備好再展開提示。
相對 y=sin(3x)，寫出此圖像的水平平移。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
提示 2
讀取位移前先提出頻率。
完整解答
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
計算或化簡此關係式。
水平位移為相位除以頻率，再取反號。
向左移 π/6。
檢查與易錯點：水平位移為相位除以頻率，再取反號。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求 x=0 時的值。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
提示 2
代入完整內部角。
完整解答
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
計算或化簡此關係式。
縱向平移在正弦乘倍數後才相加。
所求值為 4。
檢查與易錯點：縱向平移在正弦乘倍數後才相加。
先思考，待同學準備好再展開提示。
由最大及最小值求 A>0。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
提示 2
振幅為峰谷差的一半。
完整解答
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
計算或化簡此關係式。
中線是兩極值的平均。
所求值為 3。
檢查與易錯點：中線是兩極值的平均。
先思考，待同學準備好再展開提示。
頻率為零後成為甚麼函數？有最小正周期嗎？
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
提示 2
任何正平移均保持常數函數。
完整解答
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
計算或化簡此關係式。
任意小正平移均有效，因此沒有最小者。
常數 3；沒有最小正周期。
檢查與易錯點：任意小正平移均有效，因此沒有最小者。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
以正振幅的形式表示同一圖像。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
提示 2
半周期平移使正弦變號。
完整解答
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
計算或化簡此關係式。
不同參數可以描述同一圖像。
y=3sin(x+π)。
檢查與易錯點：不同參數可以描述同一圖像。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求振幅。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
提示 2
振幅為乘數的絕對值。
完整解答
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
計算或化簡此關係式。
負乘數反射圖像，但振幅不會為負。
所求值為 4。
檢查與易錯點：負乘數反射圖像，但振幅不會為負。
先思考，待同學準備好再展開提示。
把最小正周期寫成 cπ，求 c。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
提示 2
相位不改變周期長度。
完整解答
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
計算或化簡此關係式。
非零振幅與頻率保證不是常數函數。
所求值為 0.5。
檢查與易錯點：非零振幅與頻率保證不是常數函數。
先思考，待同學準備好再展開提示。
相對 y=sin(4x)，寫出此圖像的水平平移。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
提示 2
讀取位移前先提出頻率。
完整解答
分清振幅、內部頻率、相位與縱向平移。
計算或化簡此關係式。
水平位移為相位除以頻率，再取反號。
向左移 π/8。
檢查與易錯點：水平位移為相位除以頻率，再取反號。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
課末檢核與訂正
回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。
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教師備課與評核
提問順序
- 使用「函數 y=A sin(ωx+φ)」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
- 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
- 改變一項假設後，原結論還成立嗎？
板書重點
- 運用函數 y=A sin(ωx+φ)，並明示角量單位及定義域。
- 伸縮與周期：振幅為 |A|；非恆定圖像的最小正周期為 2π/|ω|。
- 相位平移：提出 ω 後，水平位移為 −φ/ω。
- 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。
預期想法
- 預期理由：振幅為 |A|；非恆定圖像的最小正周期為 2π/|ω|。
- 預期理由：提出 ω 後，水平位移為 −φ/ω。
- 預期修正：常數圖像沒有最小正周期。
評核清單
- 1：辨識已知條件及所求。
- 1：選取合適定義、表示或方法。
- 1：推理連貫且正確。
- 1：檢驗條件並解釋結果。