完整三角方程解集

1. 求參考值。

   $$x_1=30^\circ$$

2. 在上半圓反射。

   $$x_2=180^\circ-30^\circ=150^\circ$$

30°、150°。

檢查與易錯點：兩值符合區間；再加完整周均不符合。

1. 求可行正弦值。

   $$\sin x=1\text{ or }-1/2$$

2. 還原所有角分支並去重。

   $$x=90^\circ,210^\circ,330^\circ$$

90°、210°、330°。

檢查與易錯點：此周中正弦值 1 只有一點。

1. 保留零因式分支。

   $$\cos x(2\sin x-1)=0$$

2. 列兩分支解集。

   $$x=\pi/2,3\pi/2;\quad x=\pi/6,5\pi/6$$

π/6、π/2、5π/6、3π/2；除法漏兩餘弦零點。

檢查與易錯點：只檢驗除法後方程不能找回已丟棄分支。

1. 辨認首個零點。

   $$x=90^\circ$$

2. 包含相反射線。

   $$x=270^\circ$$

90°、270°。

檢查與易錯點：餘弦圖每完整周兩次過零。

1. 求一有效參考解。

   $$x=45^\circ$$

2. 在區間內加一正切週期。

   $$x=225^\circ$$

45°、225°。

檢查與易錯點：只用 360° 週期會漏一有效正切解。

1. 使用單位圓界限。

   $$-1\le\sin x\le1$$

2. 所求值在界限外。

   $$2>1$$

無實數解。

檢查與易錯點：值域檢查避免無意義的反函數輸入。

1. 列可行倍數。

   $$x=-\pi,0,\pi$$

2. 計相異實輸入。

   $$N=3$$

3。

檢查與易錯點：同終邊端點角為不同實輸入，兩者都在此閉區間。

1. 列變換角解。

   $$2x=30^\circ,150^\circ,390^\circ,510^\circ$$

2. 返回原輸入。

   $$x=15^\circ,75^\circ,195^\circ,255^\circ$$

15°、75°、195°、255°。

檢查與易錯點：只用變換角一周會把完整解集減半。

1. 加 π/3 還原輸入。

   $$x=\pi,5\pi/3$$

2. 其他週期複本在區間外。

   $$0\le x<2\pi$$

π 及 5π/3。

檢查與易錯點：先還原平移，再檢查原定義域，不假設相角只限一周。

1. 由原方程排除零除數。

   $$\cos x=0\Rightarrow\sin x=\pm1\ne0$$

2. 安全相除並用正切週期。

   $$\tan x=1\Rightarrow x=\pi/4,5\pi/4$$

π/4、5π/4；檢查零情況後可安全相除。

檢查與易錯點：此情況與零除數本身提供有效解的方程不同。

1. 平方方程允許兩符號。

   $$x=30^\circ,150^\circ,210^\circ,330^\circ$$

2. 排除正弦為正的候選值。

   $$x=210^\circ,330^\circ\text{ remain}$$

排除 30°、150°；保留 210°、330°。

檢查與易錯點：不可逆推出之後，用代入檢查有效性。

1. 分類不可能及極端高度。

   $$|k|>1:0;\quad |k|=1:1$$

2. 處理普通高度及重複端點高度。

   $$0<|k|<1:2;\quad k=0:3$$

所列四情況的解數為 0、1、2、3。

檢查與易錯點：端點同終邊但為相異實輸入，零高度時兩者均計。

1. 表示嚴格相角區間。

   $$\pi/6<\pi t/4<5\pi/6$$

2. 換回秒並排除等號時刻。

   $$2/3<t<10/3$$

t∈(2/3,10/3) 秒時嚴格高於 4 米。

檢查與易錯點：兩端點恰高 4 米，故兩端均不包含。