求解並說明除以 cos x 會漏哪些解。
- 弧度；0≤x<2π。
考點與先備課節
範圍：JM01 / JM02
最近作答（最多五次）
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
以乘積式替換 sin 2x。
提示 2
提出餘弦，不除以它。
完整解答
保留零因式分支。
列兩分支解集。
π/6、π/2、5π/6、3π/2；除法漏兩餘弦零點。
檢查與易錯點：只檢驗除法後方程不能找回已丟棄分支。
先思考，待同學準備好再展開提示。
學習・解釋・訂正
求解並說明除以 cos x 會漏哪些解。
先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。
專題 01
完整三角方程解集
解變換角、還原所有分支，再與原區間取交集。
學完之後，你能解釋
- 保留指定區間內所有角分支及週期複本。
- 辨認除法遺漏解及平方增根。
試一試，把思路寫下來。
每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。
例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。
教師備課與評核
40 分鐘教案
| 分鐘 | 環節 | 教師及學生任務 |
|---|---|---|
| 5 | 分支診斷 | 用診斷區分主值及變換區間。 |
| 8 | 建立解集 | 先標等高點及週期複本，再篩選。 |
| 10 | 審核操作 | 同桌比較 sin x=cos x 的安全除法及 sin 2x=cos x 的漏根。 |
| 12 | 分類及建模 | 小組分類參數根數並轉換輪的高度門檻。 |
| 5 | 離堂完整性 | 要求完整集合及沒有其他分支的理由。 |
提問順序
- 變換角實際走過哪個區間？
- 此操作刪去或增加候選值嗎？
板書發展
- 保留因式分支。
- 把角區間映回時間。
預期正誤回答
- 「兩端為不同實數 x，故都計」正確處理 k=0。
- 「立即除以餘弦」有漏有效零因式解的風險。
追問
- 把找到的根全代入，為何仍不能證明沒有漏根？
補救
- 漏分支時，先畫水平值線再用反三角。
- 變換區間錯誤時，把 x 界限及角界限分兩欄。
離堂檢核
- 0≤x≤2π 解 cos 2x=1。預期 0、π、2π，包含閉端點。
評核清單與作答示例
- 2 分：分支及定義域完整。
完整：[0°,360°) 上 sin 2x=1/2 有四根；部分：只首兩根。
- 2 分：檢驗不可逆步驟。
完整：平方後排除正弦正根；部分：接受平方方程四根。