單位圓坐標及符號

1. 以到原點距離正規化。

   $$r=\sqrt{9+16}=5$$

2. 保留 x 符號。

   $$\cos\theta=-3/5$$

−3/5。

檢查與易錯點：距離正，向左坐標負。

1. 求餘弦平方。

   $$\cos^2\theta=1-9/25=16/25$$

2. 使用象限符號。

   $$\cos\theta=-4/5$$

−4/5。

檢查與易錯點：恆等式本身給兩符號，象限選其中一個。

1. 找同終邊角。

   $$765^\circ=2(360^\circ)+45^\circ$$

2. 讀 45° 的相等正坐標。

   $$P=(\sqrt2/2,\sqrt2/2)$$

(√2/2,√2/2)。

檢查與易錯點：完整周保留終點，但累積轉角仍為 765°。

1. 把 30° 點關於 y 軸反射。

   $$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$

2. 垂直坐標保留。

   $$\sin150^\circ=1/2$$

1/2。

檢查與易錯點：反射改變餘弦，不改此正弦。

1. 分開半周。

   $$240^\circ=180^\circ+60^\circ$$

2. 水平坐標反號。

   $$\cos240^\circ=-1/2$$

−1/2。

檢查與易錯點：半周令兩坐標反號。

1. 讀四分之一周的點。

   $$(\cos90^\circ,\sin90^\circ)=(0,1)$$

2. 商不能為實數。

   $$1/0\text{ undefined}$$

未定義。

檢查與易錯點：它既非零，也不是實數中的無窮值。

1. 定位第四象限。

   $$-\pi/3=-60^\circ$$

2. 餘弦正、正弦負。

   $$P=(1/2,-\sqrt3/2)$$

(1/2,−√3/2)。

檢查與易錯點：弧度輸入須按角量理解，不能當作度數。

1. 求垂直坐標平方。

   $$\sin^2\theta=1-144/169=25/169$$

2. 選負分支。

   $$\sin\theta=-5/13$$

−5/13。

檢查與易錯點：符號來自象限，不由平方根計算決定。

1. 選符合象限的代表點。

   $$P=(1,-2),\quad r=\sqrt5$$

2. 正規化水平坐標。

   $$\cos\theta=1/\sqrt5$$

1/√5。

檢查與易錯點：比值不固定長度，但正規化消除此自由。

1. 終邊方向向下。

   $$(x/r,y/r)=(0,-1)$$

2. 選指定區間代表。

   $$\theta=270^\circ$$

270°。

檢查與易錯點：−90° 同終邊但不在指定區間。

1. 寫原單位圓點。

   $$P=(\cos\alpha,\sin\alpha)$$

2. 反射至角 π−α。

   $$P_{\mathrm{reflected}}=(-\cos\alpha,\sin\alpha)$$

相等 y 坐標證明恆等式。

檢查與易錯點：此法解釋哪個坐標變號，不只背公式。

1. 決定帶符號三角值。

   $$\cos(-120^\circ)=-1/2,\quad\sin(-120^\circ)=-\sqrt3/2$$

2. 以實際半徑縮放。

   $$P=(-1,-\sqrt3)$$

高度 −√3，位置 (−1,−√3)。

檢查與易錯點：此順時針旋轉後點在軸下；到軸下方的距離則為正 √3。

1. 檢查必要恆等式。

   $$s^2+c^2=0.64+0.64=1.28\ne1$$

2. 改符號不改平方長度。

   $$(\pm0.8)^2+(\pm0.8)^2=1.28$$

沒有角符合；改象限不能修正精確讀數。

檢查與易錯點：此為一致性檢查，而非反三角計算。