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學習・解釋・訂正

兩個精確讀數聲稱同一角的正弦及餘弦均為 0.8。判斷有否實角符合，並說明改象限能否修正。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高一必修第一册(A版).pdf · 5.2 · PDF 184 / 印刷頁 177

專題 01

單位圓坐標及符號

以坐標讀正弦及餘弦，保留角方向及象限資料。

學完之後，你能解釋

把點正規化到單位圓，解釋坐標符號。
用模長檢查判斷所提正弦餘弦數據是否可能。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 遷移#獨立練習

兩個精確讀數聲稱同一角的正弦及餘弦均為 0.8。判斷有否實角符合，並說明改象限能否修正。

s=0.8,\quad c=0.8

讀數視為精確，不是四捨五入量測。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

反求角之前檢查單位圓模長。

提示 2

讀數平方和為 1.28。

完整解答

檢查必要恆等式。
$s^2+c^2=0.64+0.64=1.28\ne1$
改符號不改平方長度。
$(\pm0.8)^2+(\pm0.8)^2=1.28$

沒有角符合；改象限不能修正精確讀數。

檢查與易錯點：此為一致性檢查，而非反三角計算。

推理清單・自評／教師評核

檢查必要恆等式。
改符號不改平方長度。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	符號及單位	用診斷，要求標單位圓點。
8	正規化點	由 P=(−3,4) 推導餘弦及正弦，保留符號。
10	選分支	同桌由恆等式及象限求缺坐標。
12	建模及否定	小組比較順時針高度及不可能的感測讀數。
5	離堂解釋	請學生區分高度及到軸下方的距離。

提問順序

正弦用哪個坐標？
開平方後哪項資料選符號？

板書發展

以正半徑正規化。
$(x,y)/r=(\cos\theta,\sin\theta)$
求角前檢查數據。
$s^2+c^2=1$

預期正誤回答

「半徑正，x 負，所以餘弦負」理由正確。
「兩讀數小於 1 所以可行」漏共同限制。

追問

改符號能修正錯誤平方模長嗎？

補救

符號錯誤時，先畫坐標軸及投影，再回想公式。

離堂檢核

P=(5,−12)，求正弦餘弦並說明符號。預期 −12/13、5/13。

評核清單與作答示例

2 分：坐標正規化。
完整：帶符號坐標除以正 13；部分：只用無符號長度。
2 分：模型解釋或一致性。
完整：平方模長 1.28 排除所有象限；部分：只說不可能無檢查。