恆等式選擇及定義域保留

1. 用恆等式而不改分母。

   $$\sin^2x/\sin x$$

2. 在允許定義域約分。

   $$\sin x,\quad x\ne k\pi,\ k\in\mathbb Z$$

sin x，且 x≠kπ。

檢查與易錯點：單看化簡式會隱藏排除的零點。

1. 消去正弦平方。

   $$\cos2x=2\cos^2x-1$$

2. 改消去餘弦平方。

   $$\cos2x=1-2\sin^2x$$

2cos²x−1 及 1−2sin²x。

檢查與易錯點：不同形式配合不同已知資料；兩者均不需除法。

1. 個別正切存在。

   $$\tan45^\circ=1$$

2. 合角的目標正切及公式分母均不可用。

   $$1-1=0,\quad\tan90^\circ\text{ undefined}$$

無實數值；和角公式要求分母非零。

檢查與易錯點：恆等式不允許除以零，也不引入實數無窮。

1. 寫單位圓關係。

   $$(\cos x)^2+(\sin x)^2=1$$

2. 相加次序不影響。

   $$\sin^2x+\cos^2x=1$$

1。

檢查與易錯點：不需反三角計算。

1. 選配合兩資料的恆等式。

   $$\sin2x=2\sin x\cos x$$

2. 直接代入，不反求 x。

   $$\sin2x=24/25$$

24/25。

檢查與易錯點：已知帶符號值已決定乘積。

1. 由平方差開始。

   $$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$$

2. 替換首個平方。

   $$\cos2x=1-2\sin^2x$$

cos 2x。

檢查與易錯點：最後形式中的 2 位於角內。

1. 計左邊。

   $$\sin60^\circ=\sqrt3/2$$

2. 計右邊並比較。

   $$1/2+1/2=1\ne\sqrt3/2$$

說法錯誤。

檢查與易錯點：一個有效反例足以否定所稱恆等式。

1. 寫公因式。

   $$\frac{2\sin^2x}{2\sin x\cos x}$$

2. 約分並保留所有原排除值。

   $$\tan x,\quad x\ne k\pi/2,\ k\in\mathbb Z$$

tan x，排除 x=kπ/2。

檢查與易錯點：tan x 本身只排除奇數倍 π/2；原分式另有缺點。

1. 以交叉項展開和角。

   $$\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ$$

2. 代入精確單位圓值。

   $$=(\sqrt6+\sqrt2)/4$$

(√6+√2)/4。

檢查與易錯點：兩交叉項區分正確和角及錯誤加法性。

1. 餘弦非零允許比值變換。

   $$\cos2x=\frac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}$$

2. 代入已知正切。

   $$(1-4)/(1+4)=-3/5$$

−3/5。

檢查與易錯點：正切平方消除此式的象限歧義。

1. 以正確符號展開兩項。

   $$\sin x\cos y+\cos x\sin y+\sin x\cos y-\cos x\sin y$$

2. 合併留下的相同項。

   $$2\sin x\cos y$$

角單位一致時，所有實角均成立。

檢查與易錯點：沒有除法，故不引入額外排除值。

1. 平方和中的交叉項相消。

   $$u^2+(4\sin x-3\cos x)^2=25$$

2. 非負性限制 u；相容坐標取得等號。

   $$\sin x=3/5,\quad\cos x=4/5\Rightarrow u=5$$

|u|≤5；正弦 3/5、餘弦 4/5 時等號。

檢查與易錯點：此題把恆等式用作最值證明，並包含可取得性。

1. 在原定義域驗等式。

   $$(\sin x+\cos x)^2-1=2\sin x\cos x=\sin2x$$

2. 圖像保留排除點。

   $$F(x)=1,\quad x\ne k\pi/2$$

直線 y=1 在每個 x=kπ/2 有缺點。

檢查與易錯點：刪去原排除值後，化簡式變成延伸函數。