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學習・解釋・訂正

不用微分，證明 |3sin x+4cos x|≤5，並描述一個等號情況。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高一必修第一册(A版).pdf · 5.5 · PDF 222 / 印刷頁 215

先重溫：單位圓坐標及符號

專題 01

恆等式選擇及定義域保留

有目的地變換式子，解釋排除角並檢驗誘人的錯規則。

學完之後，你能解釋

選擇符合目標形式的恆等式。
區分共同定義域內相等與延伸化簡式。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 遷移#獨立練習

不用微分，證明 |3sin x+4cos x|≤5，並描述一個等號情況。

u=3\sin x+4\cos x

除另訂較小定義域外，輸入均為實數。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

構造互補平方式。

提示 2

把 (4sin x−3cos x)² 加到 u²。

完整解答

平方和中的交叉項相消。
$u^2+(4\sin x-3\cos x)^2=25$
非負性限制 u；相容坐標取得等號。
$\sin x=3/5,\quad\cos x=4/5\Rightarrow u=5$

|u|≤5；正弦 3/5、餘弦 4/5 時等號。

檢查與易錯點：此題把恆等式用作最值證明，並包含可取得性。

推理清單・自評／教師評核

平方和中的交叉項相消。
非負性限制 u；相容坐標取得等號。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	檢驗兩說法	用診斷比較錯誤加法性及定義域缺點。
8	選目標	使用恆等式前先說目標形式。
10	追蹤排除值	同桌化簡倍角分式，標所有禁角。
12	證明界限	小組為振幅界限構造互補平方。
5	離堂定義域	要求公式加排除值，不只化簡結果。

提問順序

目標式哪個特徵提示此恆等式？
操作是否保留定義域？

板書發展

約分前記限制。
$\sin2x\ne0$
把恆等式轉成界限。
$u^2+v^2=25$

預期正誤回答

「原分母非零處兩值相同」正確限制相等範圍。
「化簡後處處為 1」錯誤填補缺點。

追問

怎樣證明界限能取得，而不只是成立？

補救

錯誤加法性先算一具體角對，再教正確展開。

離堂檢核

化簡 sin²x/(1−cos²x) 並列定義域。預期 x≠kπ 時為 1。

評核清單與作答示例

2 分：有理由的恆等式選擇。
完整：分子轉成 sin²x 配合分母；部分：未解釋約分。
2 分：定義域及等號情況。
完整：保留 x≠kπ/2；部分：只排除餘弦零點。