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學習・解釋・訂正

軟件把分式化成 1，畫完整水平線。準確說明此圖在哪些位置擴大原定義域。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高一必修第一册(A版).pdf · 5.5 · PDF 222 / 印刷頁 215

先重溫：單位圓坐標及符號

專題 01

恆等式選擇及定義域保留

有目的地變換式子，解釋排除角並檢驗誘人的錯規則。

學完之後，你能解釋

選擇符合目標形式的恆等式。
區分共同定義域內相等與延伸化簡式。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 遷移#獨立練習

軟件把分式化成 1，畫完整水平線。準確說明此圖在哪些位置擴大原定義域。

F(x)=\frac{(\sin x+\cos x)^2-1}{\sin2x}

x 以弧度計；k 為任意整數。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

約分前展開分子。

提示 2

分子等於 sin 2x，但其零值是原分母禁值。

完整解答

在原定義域驗等式。
$(\sin x+\cos x)^2-1=2\sin x\cos x=\sin2x$
圖像保留排除點。
$F(x)=1,\quad x\ne k\pi/2$

直線 y=1 在每個 x=kπ/2 有缺點。

檢查與易錯點：刪去原排除值後，化簡式變成延伸函數。

推理清單・自評／教師評核

在原定義域驗等式。
圖像保留排除點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	檢驗兩說法	用診斷比較錯誤加法性及定義域缺點。
8	選目標	使用恆等式前先說目標形式。
10	追蹤排除值	同桌化簡倍角分式，標所有禁角。
12	證明界限	小組為振幅界限構造互補平方。
5	離堂定義域	要求公式加排除值，不只化簡結果。

提問順序

目標式哪個特徵提示此恆等式？
操作是否保留定義域？

板書發展

約分前記限制。
$\sin2x\ne0$
把恆等式轉成界限。
$u^2+v^2=25$

預期正誤回答

「原分母非零處兩值相同」正確限制相等範圍。
「化簡後處處為 1」錯誤填補缺點。

追問

怎樣證明界限能取得，而不只是成立？

補救

錯誤加法性先算一具體角對，再教正確展開。

離堂檢核

化簡 sin²x/(1−cos²x) 並列定義域。預期 x≠kπ 時為 1。

評核清單與作答示例

2 分：有理由的恆等式選擇。
完整：分子轉成 sin²x 配合分母；部分：未解釋約分。
2 分：定義域及等號情況。
完整：保留 x≠kπ/2；部分：只排除餘弦零點。