立體幾何初步：綜合評估

1. 辨識立體的定義面、截面及生成要素。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$V=2n=2(10)=20$$

3. 對應底面頂點互異，並以側棱連接。

所求值為 20。

檢查與易錯點：對應底面頂點互異，並以側棱連接。

1. 區分真實空間物件與所用斜二測畫法。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$d=2d'=16$$

3. 不應對完整比例的軸作同樣復原。

所求值為 16。

檢查與易錯點：不應對完整比例的軸作同樣復原。

1. 選對表面積或體積公式，保持單位及相似次方一致。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$V=\frac43\pi r^3=\frac{1372}3\pi$$

3. 若已知直徑，須先除二再代入。

所求值為 457.33333333。

檢查與易錯點：若已知直徑，須先除二再代入。

1. 甲部推理

2. 使用精確的相交條件；單靠圖像不能證明空間關係。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$A,B\in\alpha\cap\beta,\ A\ne B\Rightarrow AB\subseteq\alpha\cap\beta$$

4. 不同相交平面的交集為直線，不是有限線段。

5. 乙部推理

6. 選對表面積或體積公式，保持單位及相似次方一致。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$S_{\text{large}}/S_{\text{small}}=3^2=9$$

8. 體積比則為 27。

甲：經過兩點的整條直線。 乙：所求值為 9。

檢查與易錯點：不同相交平面的交集為直線，不是有限線段。 體積比則為 27。

1. 甲部推理

2. 使用平行判定時，保留全部相交及線在面外條件。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$l,m\subseteq\alpha,\ l\cap m\ne\varnothing,\ l\parallel\beta,\ m\parallel\beta\Rightarrow\alpha\parallel\beta$$

4. 兩個獨立方向才可限制平面方向。

5. 乙部推理

6. 使用精確的相交條件；單靠圖像不能證明空間關係。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$l\parallel m,\ l\ne m\Rightarrow\exists!\alpha:l,m\subseteq\alpha$$

8. 所取三點不共線，因而決定唯一平面。

甲：一平面內兩條相交直線，均平行另一平面。 乙：所求值為 1。

檢查與易錯點：兩個獨立方向才可限制平面方向。 所取三點不共線，因而決定唯一平面。

1. 甲部推理

2. 用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$\mathbf n_1=(1,0,0),\quad\mathbf n_2=(0,1,0),\quad\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2=0$$

4. 截面給出兩條互相垂直的坐標軸。

5. 乙部推理

6. 使用平行判定時，保留全部相交及線在面外條件。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$l\parallel m\subseteq\alpha,\ l\not\subseteq\alpha\Rightarrow l\parallel\alpha$$

8. 沒有線在面外條件，l 可能包含於 α。

甲：所求值為 90。 乙：l 平行於 α。

檢查與易錯點：截面給出兩條互相垂直的坐標軸。 沒有線在面外條件，l 可能包含於 α。

1. 甲部推理

2. 辨識立體的定義面、截面及生成要素。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$\lambda=1/2;\quad S_{\text{section}}/S_{\text{base}}=\lambda^2=1/4$$

4. 面積比為長度比的平方。

5. 乙部推理

6. 用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$H=(8,2,0),\quad PH=11$$

8. 點面距離為垂直長度，不是距原點距離。

甲：所求值為 0.25。 乙：所求值為 11。

檢查與易錯點：面積比為長度比的平方。 點面距離為垂直長度，不是距原點距離。

1. 區分真實空間物件與所用斜二測畫法。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$h'=1\cdot10=10$$

3. 深度折半只適用於指定退後方向。

所求值為 10。

檢查與易錯點：深度折半只適用於指定退後方向。

1. 甲部推理

2. 選對表面積或體積公式，保持單位及相似次方一致。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$S_{\text{large}}/S_{\text{small}}=3^2=9$$

4. 體積比則為 27。

5. 乙部推理

6. 區分真實空間物件與所用斜二測畫法。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$d'=18/2=9$$

8. 這是畫法約定，不是立體本身改變。

甲：所求值為 9。 乙：所求值為 9。

檢查與易錯點：體積比則為 27。 這是畫法約定，不是立體本身改變。

1. 甲部推理

2. 使用精確的相交條件；單靠圖像不能證明空間關係。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$l\parallel m,\ l\ne m\Rightarrow\exists!\alpha:l,m\subseteq\alpha$$

4. 所取三點不共線，因而決定唯一平面。

5. 乙部推理

6. 選對表面積或體積公式，保持單位及相似次方一致。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$V=\frac13\pi r^2h=81\pi$$

8. 不可漏去三分之一係數。

甲：所求值為 1。 乙：所求值為 81。

檢查與易錯點：所取三點不共線，因而決定唯一平面。 不可漏去三分之一係數。

1. 甲部推理

2. 使用平行判定時，保留全部相交及線在面外條件。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$l\parallel m\subseteq\alpha,\ l\not\subseteq\alpha\Rightarrow l\parallel\alpha$$

4. 沒有線在面外條件，l 可能包含於 α。

5. 乙部推理

6. 辨識立體的定義面、截面及生成要素。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$V=2n=2(10)=20$$

8. 對應底面頂點互異，並以側棱連接。

甲：l 平行於 α。 乙：所求值為 20。

檢查與易錯點：沒有線在面外條件，l 可能包含於 α。 對應底面頂點互異，並以側棱連接。

1. 用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$H=(8,2,0),\quad PH=11$$

3. 點面距離為垂直長度，不是距原點距離。

所求值為 11。

檢查與易錯點：點面距離為垂直長度，不是距原點距離。

1. 辨識立體的定義面、截面及生成要素。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$2n-3n+(n+2)=2\quad(n=12)$$

3. 此驗證適用此凸多面體族，並非所有多面體的通用證明。

V=24、E=36、F=14；V−E+F=2。

檢查與易錯點：此驗證適用此凸多面體族，並非所有多面體的通用證明。

1. 區分真實空間物件與所用斜二測畫法。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$d'=18/2=9$$

3. 這是畫法約定，不是立體本身改變。

所求值為 9。

檢查與易錯點：這是畫法約定，不是立體本身改變。

1. 選對表面積或體積公式，保持單位及相似次方一致。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$V=\frac13\pi r^2h=81\pi$$

3. 不可漏去三分之一係數。

所求值為 81。

檢查與易錯點：不可漏去三分之一係數。