空間點、直線、平面之間的位置關係

1. 使用精確的相交條件；單靠圖像不能證明空間關係。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$A,B,C\text{ noncollinear }\Rightarrow\exists!\alpha:A,B,C\in\alpha$$

3. 三個共線點則在無限多個平面內。

所求值為 1。

檢查與易錯點：三個共線點則在無限多個平面內。

1. 使用精確的相交條件；單靠圖像不能證明空間關係。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$\binom43=4$$

3. 若兩者相同，四點將共面，與假設矛盾。

所求值為 4。

檢查與易錯點：若兩者相同，四點將共面，與假設矛盾。

1. 使用精確的相交條件；單靠圖像不能證明空間關係。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$l\parallel m,\ l\ne m\Rightarrow\exists!\alpha:l,m\subseteq\alpha$$

3. 所取三點不共線，因而決定唯一平面。

所求值為 1。

檢查與易錯點：所取三點不共線，因而決定唯一平面。

1. 三點定平面的公理要求不共線。

2. 任何包含共同直線的平面均包含三點；繞該線旋轉平面可得無限多個選擇。

3. 缺少不共線條件，唯一性便完全改變。

無限多個。

檢查與易錯點：缺少不共線條件，唯一性便完全改變。

1. 在直線選兩個不同點。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$A,B\in l,\ A\ne B,\ P\notin l\Rightarrow A,B,P\text{ noncollinear}$$

3. 三點所定唯一平面包含原整條直線。

所求值為 1。

檢查與易錯點：三點所定唯一平面包含原整條直線。

1. 使用精確的相交條件；單靠圖像不能證明空間關係。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$AB:(t,0,0);\quad CC\prime:(3,3,s)$$

3. 空間中不平行又不相交的直線為異面，不是平行。

異面直線。

檢查與易錯點：空間中不平行又不相交的直線為異面，不是平行。

1. 使用精確的相交條件；單靠圖像不能證明空間關係。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$A,B\in\alpha\cap\beta,\ A\ne B\Rightarrow AB\subseteq\alpha\cap\beta$$

3. 不同相交平面的交集為直線，不是有限線段。

經過兩點的整條直線。

檢查與易錯點：不同相交平面的交集為直線，不是有限線段。

1. 使用精確的相交條件；單靠圖像不能證明空間關係。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$Ox\cap Oy\cap Oz=\{O\}$$

3. 若三個交點互異，則會有不同結論。

不一定：三條直角坐標軸交於同一點，但不共面。

檢查與易錯點：若三個交點互異，則會有不同結論。

1. 使用精確的相交條件；單靠圖像不能證明空間關係。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$A,B\in\alpha\Rightarrow AB\subseteq\alpha$$

3. 只有一個公共點時，直線可能只是穿過平面。

由平面相交公理，直線 AB 包含於 α。

檢查與易錯點：只有一個公共點時，直線可能只是穿過平面。

1. 回想相交公理，不要靠透視圖判斷。

2. 使用平面相交性質：兩不同平面的非空交集為整條直線。

3. 一個公共點已保證有更多公共點。

不能；不同平面相交時，交集為直線。

檢查與易錯點：一個公共點已保證有更多公共點。

1. 數出無序三點組。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$\binom53=5\cdot4\cdot3/(3\cdot2\cdot1)=10$$

3. 此計數需要兩項一般位置條件。

所求值為 10。

檢查與易錯點：此計數需要兩項一般位置條件。

1. 取垂直交線的截面。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$2\times2=4$$

3. 四個平面扇區對應四個空間區域。

所求值為 4。

檢查與易錯點：四個平面扇區對應四個空間區域。

1. 使用精確的相交條件；單靠圖像不能證明空間關係。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$AB:(t,0,0);\quad CC\prime:(4,4,s)$$

3. 空間中不平行又不相交的直線為異面，不是平行。

異面直線。

檢查與易錯點：空間中不平行又不相交的直線為異面，不是平行。