Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

空間直線、平面的垂直

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修 第二册(A版).pdf · 8.6 · PDF 153 / 印刷頁 146

先重溫：空間直線、平面的平行

專題 01

空間直線、平面的垂直

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握空間直線、平面的垂直。

學完之後，你能解釋

  • 以定義、有效空間推理及度量檢查處理空間直線、平面的垂直。
  • 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
  • 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

線面檢驗

垂直面內兩相交線，可證明垂直該面。

角與距離

線面角用正射影，二面角用垂直棱的截面。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「空間直線、平面的垂直」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

長方體示意圖（非按比例）：3×4×2；體積=24，表面積=52。

長方體示意圖（非按比例）：3×4×2；體積=24，表面積=52。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

寫出直線垂直平面的判準。

  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。
提示 2
兩條平行的檢驗線只提供一個方向。
完整解答

  1. 用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。

  2. 計算或化簡此關係式。

    l⊥a, l⊥b,a,b⊆α,a∩b≠∅⇒l⊥αl\perp a,\ l\perp b,\quad a,b\subseteq\alpha,\quad a\cap b\ne\varnothing\Rightarrow l\perp\alpha

  3. 兩個相交方向生成整個平面。

直線垂直平面內兩條相交直線，則垂直該平面。

檢查與易錯點：兩個相交方向生成整個平面。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求 P 到平面的距離。

P=(2,2,5),α:z=0P=(2,2,5),\quad\alpha:z=0
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。
提示 2
作與 z 軸平行的垂線。
完整解答

  1. 用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。

  2. 計算或化簡此關係式。

    H=(2,2,0),PH=5H=(2,2,0),\quad PH=5

  3. 點面距離為垂直長度，不是距原點距離。

所求值為 5。

檢查與易錯點：點面距離為垂直長度，不是距原點距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

解釋射影判準：平面內直線垂直斜線，當且僅當它垂直斜線在面內的非零正射影。

v=p+n\mathbf v=\mathbf p+\mathbf n
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。
提示 2
把斜向量分為面內及法向分量。
完整解答

  1. 用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。

  2. 計算或化簡此關係式。

    u⋅v=u⋅p+u⋅n=u⋅p\mathbf u\cdot\mathbf v=\mathbf u\cdot\mathbf p+\mathbf u\cdot\mathbf n=\mathbf u\cdot\mathbf p

  3. 射影非零才有可用方向。

法向分量與面內方向數量積零，因此只剩射影分量。

檢查與易錯點：射影非零才有可用方向。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

說明垂直面內一條直線為何不足以證明線面垂直。

v=(0,1,1),α:z=0\mathbf v=(0,1,1),\quad\alpha:z=0
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查面內兩個獨立方向。
提示 2
法向須與兩者均垂直。
完整解答

  1. 檢查面內兩個獨立方向。

  2. 計算或化簡此關係式。

    (0,1,1)⋅(1,0,0)=0;(0,1,1)⋅(0,1,0)=1(0,1,1)\cdot(1,0,0)=0;\quad(0,1,1)\cdot(0,1,0)=1

  3. 反例指出所欠的第二方向。

v 垂直 x 軸，但不垂直 y 軸，因此不垂直 α。

檢查與易錯點：反例指出所欠的第二方向。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求 P 到平面的距離。

P=(3,2,6),α:z=0P=(3,2,6),\quad\alpha:z=0
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。
提示 2
作與 z 軸平行的垂線。
完整解答

  1. 用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。

  2. 計算或化簡此關係式。

    H=(3,2,0),PH=6H=(3,2,0),\quad PH=6

  3. 點面距離為垂直長度，不是距原點距離。

所求值為 6。

檢查與易錯點：點面距離為垂直長度，不是距原點距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

線段與平面成 30°，長為 2k，求其垂直分量。

k=3k=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。
提示 2
線面角是與正射影所成的角。
完整解答

  1. 用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。

  2. 計算或化簡此關係式。

    h=2(3)sin⁡30∘=3h=2(3)\sin30^{\circ}=3

  3. 垂直分量使用該角的正弦。

所求值為 3。

檢查與易錯點：垂直分量使用該角的正弦。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

正方體體對角線與底面成 θ，求 sin²θ。

  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。
提示 2
用垂直高除以對角線長。
完整解答

  1. 用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。

  2. 計算或化簡此關係式。

    sin⁡θ=aa3=13;sin⁡2θ=1/3\sin\theta=\frac{a}{a\sqrt3}=\frac1{\sqrt3};\quad\sin^2\theta=1/3

  3. 邊長被約去，因此角度與尺寸無關。

所求值為 0.33333333。

檢查與易錯點：邊長被約去，因此角度與尺寸無關。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

兩平面垂直，是否其中一面的每條線都垂直另一面？給出反例。

  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。
提示 2
考慮共同交線。
完整解答

  1. 用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。

  2. 計算或化簡此關係式。

    α:x=0,β:y=0,l:x=y=0\alpha:x=0,\quad\beta:y=0,\quad l:x=y=0

  3. 一面內的線還須垂直交線，才垂直另一面。

不是：兩面的交線包含於兩面，不垂直任一面。

檢查與易錯點：一面內的線還須垂直交線，才垂直另一面。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求坐標平面 x=0 及 y=0 的二面角。

  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。
提示 2
取垂直共同 z 軸的截面。
完整解答

  1. 用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。

  2. 計算或化簡此關係式。

    n1=(1,0,0),n2=(0,1,0),n1⋅n2=0\mathbf n_1=(1,0,0),\quad\mathbf n_2=(0,1,0),\quad\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2=0

  3. 截面給出兩條互相垂直的坐標軸。

所求值為 90。

檢查與易錯點：截面給出兩條互相垂直的坐標軸。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

兩垂直平面 α、β 中，α 內直線 m 垂直兩面交線。用垂直截面說明 m 與 β 的關係。

  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
取通過 m 且垂直交線 l 的截面。
提示 2
直二面角變成截面內兩線的直角。
完整解答

  1. 取通過 m 且垂直交線 l 的截面。

  2. 計算或化簡此關係式。

    m⊥l,n⊥l,∠(m,n)=90∘m\perp l,\quad n\perp l,\quad\angle(m,n)=90^{\circ}

  3. m 垂直 β 內兩個相交方向 l、n。

m 垂直 β。

檢查與易錯點：m 垂直 β 內兩個相交方向 l、n。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

l 垂直 α，m 平行 l，證明 m 垂直 α。

  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
考慮任意面內方向 u。
提示 2
法向的非零倍數仍為法向。
完整解答

  1. 考慮任意面內方向 u。

  2. 計算或化簡此關係式。

    m=cl,l⋅u=0⇒m⋅u=0\mathbf m=c\mathbf l,\quad\mathbf l\cdot\mathbf u=0\Rightarrow\mathbf m\cdot\mathbf u=0

  3. 直線位置不影響由方向決定的垂直關係。

平行線有成比例的非零方向向量，因此保留相同法向。

檢查與易錯點：直線位置不影響由方向決定的垂直關係。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求 P 到平面的距離。

P=(4,2,7),α:z=0P=(4,2,7),\quad\alpha:z=0
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。
提示 2
作與 z 軸平行的垂線。
完整解答

  1. 用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。

  2. 計算或化簡此關係式。

    H=(4,2,0),PH=7H=(4,2,0),\quad PH=7

  3. 點面距離為垂直長度，不是距原點距離。

所求值為 7。

檢查與易錯點：點面距離為垂直長度，不是距原點距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

線段與平面成 30°，長為 2k，求其垂直分量。

k=4k=4
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。
提示 2
線面角是與正射影所成的角。
完整解答

  1. 用相交方向檢驗垂直，再找相應射影或截面。

  2. 計算或化簡此關係式。

    h=2(4)sin⁡30∘=4h=2(4)\sin30^{\circ}=4

  3. 垂直分量使用該角的正弦。

所求值為 4。

檢查與易錯點：垂直分量使用該角的正弦。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 使用「空間直線、平面的垂直」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
    • 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
    • 改變一項假設後，原結論還成立嗎？

    板書重點

    • 以定義、有效空間推理及度量檢查處理空間直線、平面的垂直。
    • 線面檢驗：垂直面內兩相交線，可證明垂直該面。
    • 角與距離：線面角用正射影，二面角用垂直棱的截面。
    • 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

    預期想法

    • 預期理由：垂直面內兩相交線，可證明垂直該面。
    • 預期理由：線面角用正射影，二面角用垂直棱的截面。
    • 預期修正：兩面垂直不會令面內每條線都垂直另一面。

    評核清單

    • 1：辨識已知條件及所求。
    • 1：選取合適定義、表示或方法。
    • 1：推理連貫且正確。
    • 1：檢驗條件並解釋結果。

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