Kenneth Cheng數學・模型・思考
搜尋EN
← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

選擇二項、超幾何與正態模型

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高三選擇性必修 第三册(A版).pdf · 7.4 · PDF 77 / 印刷頁 72

先重溫：條件、分割與後驗概率分佈期望、方差與相依

專題 01

選擇二項、超幾何與正態模型

先按假設及可能值選模型，再計概率或數字特徵。

學完之後，你能解釋

  • 先按假設及可能值選模型，再計概率或數字特徵。
  • 處理抽取全體及確定性邊界，標準化連續正態變量。

機制決定模型

模型是關於資料產生機制的聲稱，不只是熟悉公式。

固定次數、獨立且共同概率的試驗不同於有限不放回抽樣。

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}

  1. 固定次數、獨立且共同概率的試驗不同於有限不放回抽樣。

    PHG(X=k)=(Kk)(N−Kn−k)/(Nn)P_{HG}(X=k)=\binom Kk\binom{N-K}{n-k}/\binom Nn

  2. 固定次數、獨立且共同概率的試驗不同於有限不放回抽樣。

    EHG(X)=nK/N; Var⁡HG(X)=n(K/N)(1−K/N)(N−n)/(N−1)E_{HG}(X)=nK/N;\ \operatorname{Var}_{HG}(X)=n(K/N)(1-K/N)(N-n)/(N-1)

成立條件

  • 有限抽樣大小為整數，0≤K,n≤N；正態 σ>0，第二參數為方差。

反例：抽取全部物件時數目固定且方差為零，二項替代會錯失此邊界。

  • 機制圖、精確概率表、可能值界及標準分數表示。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：對同一有限袋，預測放回及不放回成功次數分佈的差異。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

不放回時有限母體使計數方差減少，可能值範圍可排除部分二項計數。No replacement 不放回 綠/green; replacement 放回 藍/blueP=10.50012Count 計數

不放回時有限母體使計數方差減少，可能值範圍可排除部分二項計數。

圖像的數值資料，可列印
紅件數不放回放回
00.20.25
10.60.5
20.20.25

比較有限次模擬與上方精確概率；模擬頻率可能有偏差。

解釋：比較抽取 n 個的精確概率，留意有限母體使方差減少。

遷移：令 n=N，解釋不放回時為何只可能有 K 次成功。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 基礎#示範例題

三次獨立試驗成功概率同為 1/2，求恰好兩次成功概率。

n=3; p=1/2n=3;\ p=1/2
  • 試驗獨立、次數固定，且各次成功概率相同。
考點與先備課節

範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。

計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
計算兩次成功的位置組合。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
P(X=2)=(32)(1/2)2(1/2)P(X=2)=\binom32(1/2)^2(1/2)
完整解答
  1. 計算兩次成功的位置組合。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    P(X=2)=(32)(1/2)2(1/2)P(X=2)=\binom32(1/2)^2(1/2)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(X=2)=3/8P(X=2)=3/8
  4. 組合係數計算不同排列位置。
所求值為 0.375。
檢查與易錯點：組合係數計算不同排列位置。
先思考，待同學準備好再展開提示。
02 / 鞏固#示範例題
袋有 3 紅 2 藍，不放回抽兩球，求兩紅概率。
N=5; K=3; n=2N=5;\ K=3;\ n=2
已提供首步，請接續推理：符合條件的二球組合除以全部二球組合。
  • 除明列放回比較模型外，從剩餘有限袋中等可能且不放回抽取。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
符合條件的二球組合除以全部二球組合。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
P(X=2)=(32)/(52)P(X=2)=\binom32/\binom52
完整解答
  1. 符合條件的二球組合除以全部二球組合。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    P(X=2)=(32)/(52)P(X=2)=\binom32/\binom52
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(X=2)=3/10P(X=2)=3/10
  4. 不放回會改變第二次概率。
所求值為 0.3。
檢查與易錯點：不放回會改變第二次概率。
先思考，待同學準備好再展開提示。
03 / 遷移#示範例題
由 3 紅 2 藍抽兩球，比較放回及不放回兩紅概率，解釋差異。
N=5; K=3; n=2N=5;\ K=3;\ n=2
  • 除明列放回比較模型外，從剩餘有限袋中等可能且不放回抽取。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
檢查首次成功是否降低之後成功比例。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
Pwith=(3/5)2=9/25P_{with}=(3/5)^2=9/25
完整解答
  1. 檢查首次成功是否降低之後成功比例。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    Pwith=(3/5)2=9/25P_{with}=(3/5)^2=9/25
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    Pwithout=(3/5)(2/4)=3/10P_{without}=(3/5)(2/4)=3/10
  4. 首抽邊際概率相同，但相依性改變聯合概率。
放回 9/25；不放回 3/10。
檢查與易錯點：首抽邊際概率相同，但相依性改變聯合概率。
推理清單・自評／教師評核
  • 檢查首次成功是否降低之後成功比例。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 首抽邊際概率相同，但相依性改變聯合概率。
先思考，待同學準備好再展開提示。
04 / 基礎#獨立練習
X~Bin(5,0.2)，求 E(X)。
X∼Bin⁡(5,0.2)X\sim\operatorname{Bin}(5,0.2)
  • 試驗獨立、次數固定，且各次成功概率相同。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把五個成功指示變量的期望相加。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
E(X)=npE(X)=np
完整解答
  1. 把五個成功指示變量的期望相加。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    E(X)=npE(X)=np
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    E(X)=5(0.2)=1E(X)=5(0.2)=1
  4. 預期次數不表示每次實際結果。
所求值為 1。
檢查與易錯點：預期次數不表示每次實際結果。
先思考，待同學準備好再展開提示。
05 / 基礎#獨立練習
進行四次獨立公平試驗，求零次成功概率。
n=4; p=1/2n=4;\ p=1/2
  • 試驗獨立、次數固定，且各次成功概率相同。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
每次試驗都須失敗。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
P(X=0)=(1−p)nP(X=0)=(1-p)^n
完整解答
  1. 每次試驗都須失敗。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    P(X=0)=(1−p)nP(X=0)=(1-p)^n
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(X=0)=1/16P(X=0)=1/16
  4. 全失敗序列只有一個，不是四個。
所求值為 0.0625。
檢查與易錯點：全失敗序列只有一個，不是四個。
先思考，待同學準備好再展開提示。
06 / 基礎#獨立練習
從小型有限袋不放回抽十次，成功次數必為二項分佈嗎？
finite population; no replacement\text{finite population; no replacement}
  • 除明列放回比較模型外，從剩餘有限袋中等可能且不放回抽取。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
不只檢查固定次數，也須檢查獨立性及共同概率。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
P(R2∣R1)=(K−1)/(N−1)P(R_2|R_1)=(K-1)/(N-1)
完整解答
  1. 不只檢查固定次數，也須檢查獨立性及共同概率。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    P(R2∣R1)=(K−1)/(N−1)P(R_2|R_1)=(K-1)/(N-1)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(R1)=K/NP(R_1)=K/N
  4. 大母體近似須另有理據。
不必；各抽取通常相依，條件成功概率也改變。
檢查與易錯點：大母體近似須另有理據。
推理清單・自評／教師評核
  • 不只檢查固定次數，也須檢查獨立性及共同概率。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 大母體近似須另有理據。
先思考，待同學準備好再展開提示。
07 / 基礎#獨立練習
X~Bin(4,1/4)，求 Var(X)。
X∼Bin⁡(4,1/4)X\sim\operatorname{Bin}(4,1/4)
  • 試驗獨立、次數固定，且各次成功概率相同。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用每個獨立伯努利試驗的方差。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
Var⁡(X)=np(1−p)\operatorname{Var}(X)=np(1-p)
完整解答
  1. 使用每個獨立伯努利試驗的方差。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    Var⁡(X)=np(1−p)\operatorname{Var}(X)=np(1-p)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    Var⁡(X)=4(1/4)(3/4)=3/4\operatorname{Var}(X)=4(1/4)(3/4)=3/4
  4. 須保留因子 1−p。
所求值為 0.75。
檢查與易錯點：須保留因子 1−p。
先思考，待同學準備好再展開提示。
08 / 鞏固#獨立練習
由 4 紅 1 藍不放回選 3 球，紅球數可取哪些值？
N=5; K=4; n=3N=5;\ K=4;\ n=3
  • 除明列放回比較模型外，從剩餘有限袋中等可能且不放回抽取。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
同時考慮可用失敗物件及抽取數目。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
max⁡(0,n−(N−K))=2\max(0,n-(N-K))=2
完整解答
  1. 同時考慮可用失敗物件及抽取數目。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    max⁡(0,n−(N−K))=2\max(0,n-(N-K))=2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    min⁡(n,K)=3\min(n,K)=3
  4. 形式上的 0 至 n 範圍包含此袋不可能的結果。
只有 2 或 3。
檢查與易錯點：形式上的 0 至 n 範圍包含此袋不可能的結果。
推理清單・自評／教師評核
  • 同時考慮可用失敗物件及抽取數目。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 形式上的 0 至 n 範圍包含此袋不可能的結果。
先思考，待同學準備好再展開提示。
09 / 鞏固#獨立練習
X~N(10,4)，x=14 時求 z。
X∼N(10,4); x=14X\sim N(10,4);\ x=14
  • 正態模型標準差須為正，第二參數是方差。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先把方差開平方。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
σ=2\sigma=2
完整解答
  1. 先把方差開平方。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    σ=2\sigma=2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    z=(14−10)/2=2z=(14-10)/2=2
  4. 正態分佈第二參數是方差，不是標準差。
所求值為 2。
檢查與易錯點：正態分佈第二參數是方差，不是標準差。
先思考，待同學準備好再展開提示。
10 / 鞏固#獨立練習
對連續正態分佈，求 P(X=μ)。
X∼N(μ,σ2); σ>0X\sim N(\mu,\sigma^2);\ \sigma>0
  • 正態模型標準差須為正，第二參數是方差。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
區分密度高度及單點概率。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
P(X=μ)=∫μμf(x) dxP(X=\mu)=\int_{\mu}^{\mu}f(x)\,dx
完整解答
  1. 區分密度高度及單點概率。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    P(X=μ)=∫μμf(x) dxP(X=\mu)=\int_{\mu}^{\mu}f(x)\,dx
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(X=μ)=0P(X=\mu)=0
  4. 最高密度不代表該單點有正概率。
所求值為 0。
檢查與易錯點：最高密度不代表該單點有正概率。
先思考，待同學準備好再展開提示。
11 / 鞏固#獨立練習
X~N(10,4)，Φ(1)=0.8413，求 P(X≤12)。
X∼N(10,4); Φ(1)=0.8413X\sim N(10,4);\ \Phi(1)=0.8413
  • 正態模型標準差須為正，第二參數是方差。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把門檻轉成標準分數。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
(12−10)/2=1(12-10)/2=1
完整解答
  1. 把門檻轉成標準分數。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    (12−10)/2=1(12-10)/2=1
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(X≤12)=Φ(1)=0.8413P(X\le12)=\Phi(1)=0.8413
  4. 使用所提供表值，不應自行增加精確位數。
所求值為 0.8413。
檢查與易錯點：使用所提供表值，不應自行增加精確位數。
先思考，待同學準備好再展開提示。
12 / 遷移#獨立練習
獨立嘗試成功概率為 1/2，求使至少一次成功概率≥0.95 的最小 n。
p=1/2; P(X≥1)≥0.95p=1/2;\ P(X\ge1)\ge0.95
  • 試驗獨立、次數固定，且各次成功概率相同。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用補事件，並檢查相鄰整數。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
1−2−n≥0.951-2^{-n}\ge0.95
完整解答
  1. 使用補事件，並檢查相鄰整數。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    1−2−n≥0.951-2^{-n}\ge0.95
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    n=4:15/16<0.95; n=5:31/32≥0.95n=4:15/16<0.95;\ n=5:31/32\ge0.95
  4. 實數下界須向上取整並檢查。
所求值為 5。
檢查與易錯點：實數下界須向上取整並檢查。
先思考，待同學準備好再展開提示。
13 / 遷移#獨立練習
6 個物件恰有 2 紅，不放回抽取全部 6 個，紅球數的平均值及方差為何？
N=6; K=2; n=6N=6;\ K=2;\ n=6
  • 除明列放回比較模型外，從剩餘有限袋中等可能且不放回抽取。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
抽取全部物件的邊界不再有數目不確定性。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
P(X=2)=1P(X=2)=1
完整解答
  1. 抽取全部物件的邊界不再有數目不確定性。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    P(X=2)=1P(X=2)=1
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    E(X)=2; Var⁡(X)=0E(X)=2;\ \operatorname{Var}(X)=0
  4. 二項方差會為正，屬錯誤模型。
平均值 2，方差 0；數目已固定。
檢查與易錯點：二項方差會為正，屬錯誤模型。
推理清單・自評／教師評核
  • 抽取全部物件的邊界不再有數目不確定性。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 二項方差會為正，屬錯誤模型。
先思考，待同學準備好再展開提示。
專注一道題目
課末檢核與訂正
回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。
啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。
    選擇需要重溫的補底知識 ↗
    教師備課與評核
    40 分鐘教案
    分鐘環節教師及學生任務
    5預測預測紅球較多的有限袋，放回是否增加兩紅概率。
    8建立概念示例回答：不放回時，抽紅後成功比例下降。
    10引導比較示例回答：放回 9/25、不放回 3/10，可列舉二球組合核對。
    12獨立練習與討論按假設分類情境，並用整數檢查可靠度題。
    5課末檢核與下一步課末：全抽六個物件且其中兩紅時，X 必為 2，方差為零。
    提問順序
    • 預測紅球較多的有限袋，放回是否增加兩紅概率。
    • 示例回答：放回 9/25、不放回 3/10，可列舉二球組合核對。
    板書發展
    • 機制決定模型
      P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}
    預期正誤回答
    • 正確示例：超幾何
    • 預期錯答：不檢查條件便用二項；只因試驗次數固定便認為可用二項模型。
    • 預期錯答：9；把正態方差參數當成標準差。
    • 只因次數固定便選二項。
    • 把正態方差當成標準差。
    追問
    • 追問：追蹤有限母體的不放回抽樣。 再解釋 不檢查條件便用二項 為何不成立。
    • 追問：第二參數讀作方差。 再解釋 9 為何不成立。
    • 令 n=N，解釋不放回時為何只可能有 K 次成功。
    補救
    • 示例回答：不放回時，抽紅後成功比例下降。
    • 返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。
    離堂檢核
    • 課末：全抽六個物件且其中兩紅時，X 必為 2，方差為零。
    評核清單與作答示例
    • 表示法及條件
      不放回使下次成功比例改變，所以有限計數使用超幾何。
    • 連貫數學推理
      五件中三紅，兩紅概率為 (3/5)(2/4)=3/10。
    • 解釋及邊界檢查
      全抽有兩紅的袋時 X 必為 2，方差為零。
    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。
    教材與來源說明 ↗