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分佈期望、方差與相依

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高三選擇性必修 第三册(A版).pdf · 7.3 · PDF 67 / 印刷頁 62

先重溫：條件、分割與後驗概率

專題 01

分佈期望、方差與相依

計算加權數字特徵，按正確單位及相依條件使用平移與倍數公式。

學完之後，你能解釋

  • 計算加權數字特徵，按正確單位及相依條件使用平移與倍數公式。
  • 用方差非負排除不可能摘要，比較同平均值分佈。

先求平均，再中心化量度離散

兩遊戲平均收益可相同，而風險不同。

期望按概率平均取值，方差平均離均平方。

E(X)=∑xpx; Var⁡(X)=E(X2)−E(X)2E(X)=\sum xp_x;\ \operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2

  1. 期望按概率平均取值，方差平均離均平方。

    E[(X−μ)2]=E(X2)−2μE(X)+μ2E[(X-\mu)^2]=E(X^2)-2\mu E(X)+\mu^2

  2. 期望按概率平均取值，方差平均離均平方。

    Var⁡(aX+b)=a2Var⁡(X)\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)

成立條件

  • 概率須歸一化且非負，和的方差須計協方差，除非有理據可省略。

反例：Y=1−X 時，X+Y 為常數，儘管兩變量都有正方差。

  • 概率表、變換結果、平均值標記及離均平方欄。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：預測倍數 a 及平移 b 對公平二點分佈的影響。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

期望 a+b=1，方差 a²=1；平移只改變位置。-120-60.300.660.9121.2xY=aX+b; P(X=0)=P(X=2)=1/2; E(Y) 橙/orange

期望 a+b=1，方差 a²=1；平移只改變位置。

圖像的數值資料，可列印
取值概率離均平方加權離均平方
00.510.5
20.510.5

解釋：讀取變換後期望及方差，a=0 把兩結果合併為一。

遷移：解釋負倍數為何反轉位置但不使方差為負。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 基礎#示範例題

X 取 0、2，概率為 3/4、1/4，求 E(X)。

X=(0,2); P=(3/4,1/4)X=(0,2);\ P=(3/4,1/4)
  • 有限分佈概率須非負且和為一，相依性只按題目明述。
考點與先備課節

範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。

計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
按概率對每個值加權。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
E(X)=0(3/4)+2(1/4)E(X)=0(3/4)+2(1/4)
完整解答
  1. 按概率對每個值加權。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    E(X)=0(3/4)+2(1/4)E(X)=0(3/4)+2(1/4)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    E(X)=1/2E(X)=1/2
  4. 可能值的簡單平均忽略概率。
所求值為 0.5。
檢查與易錯點：可能值的簡單平均忽略概率。
先思考，待同學準備好再展開提示。
02 / 鞏固#示範例題
X 等概率取 0、2，用中心化方法求方差。
X=(0,2); P=(1/2,1/2)X=(0,2);\ P=(1/2,1/2)
已提供首步，請接續推理：先計算平均值，再求離均平方。
  • 有限分佈概率須非負且和為一，相依性只按題目明述。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先計算平均值，再求離均平方。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
E(X)=1E(X)=1
完整解答
  1. 先計算平均值，再求離均平方。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    E(X)=1E(X)=1
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    Var⁡(X)=(−1)2/2+12/2=1\operatorname{Var}(X)=(-1)^2/2+1^2/2=1
  4. 方差平均離均平方，而不是絕對離差。
所求值為 1。
檢查與易錯點：方差平均離均平方，而不是絕對離差。
先思考，待同學準備好再展開提示。
03 / 遷移#示範例題
X 為公平伯努利變量，Y=1−X。求 Var(X+Y)，說明為何不能直接把方差相加。
P(X=0)=P(X=1)=1/2; Y=1−XP(X=0)=P(X=1)=1/2;\ Y=1-X
  • 有限分佈概率須非負且和為一，相依性只按題目明述。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用獨立公式前先觀察和。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
X+Y=1X+Y=1
完整解答
  1. 使用獨立公式前先觀察和。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    X+Y=1X+Y=1
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    Var⁡(X+Y)=0; Cov⁡(X,Y)=−1/4\operatorname{Var}(X+Y)=0;\ \operatorname{Cov}(X,Y)=-1/4
  4. 兩變量完全相依，不是獨立。
所求值為 0。
檢查與易錯點：兩變量完全相依，不是獨立。
先思考，待同學準備好再展開提示。
04 / 基礎#獨立練習
X=0、1、2 的概率為 p、2p、p，求 p。
P=(p,2p,p)P=(p,2p,p)
  • 有限分佈概率須非負且和為一，相依性只按題目明述。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用概率歸一化。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
p+2p+p=1p+2p+p=1
完整解答
  1. 使用概率歸一化。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    p+2p+p=1p+2p+p=1
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    p=1/4p=1/4
  4. 歸一化後須檢查每個概率非負。
所求值為 0.25。
檢查與易錯點：歸一化後須檢查每個概率非負。
先思考，待同學準備好再展開提示。
05 / 基礎#獨立練習
X 取 −1、2，概率 2/3、1/3，求 E(X²)。
X=(−1,2); P=(2/3,1/3)X=(-1,2);\ P=(2/3,1/3)
  • 有限分佈概率須非負且和為一，相依性只按題目明述。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先把結果平方，再平均。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
E(X2)=1(2/3)+4(1/3)E(X^2)=1(2/3)+4(1/3)
完整解答
  1. 先把結果平方，再平均。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    E(X2)=1(2/3)+4(1/3)E(X^2)=1(2/3)+4(1/3)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    E(X2)=2E(X^2)=2
  4. E(X²) 不同於 E(X)=0 的平方。
所求值為 2。
檢查與易錯點：E(X²) 不同於 E(X)=0 的平方。
先思考，待同學準備好再展開提示。
06 / 基礎#獨立練習
E(X)=3，求 E(2X−5)。
E(X)=3E(X)=3
  • 有限分佈概率須非負且和為一，相依性只按題目明述。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用期望的線性性。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
E(2X−5)=2E(X)−5E(2X-5)=2E(X)-5
完整解答
  1. 使用期望的線性性。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    E(2X−5)=2E(X)−5E(2X-5)=2E(X)-5
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    E(2X−5)=1E(2X-5)=1
  4. 固定偏移量直接改變平均值。
所求值為 1。
檢查與易錯點：固定偏移量直接改變平均值。
先思考，待同學準備好再展開提示。
07 / 基礎#獨立練習
Var(X)=3，求 Var(−2X+7)。
Var⁡(X)=3\operatorname{Var}(X)=3
  • 有限分佈概率須非負且和為一，相依性只按題目明述。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
倍數須平方；方差不受常數平移影響。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
Var⁡(−2X+7)=(−2)2Var⁡(X)\operatorname{Var}(-2X+7)=(-2)^2\operatorname{Var}(X)
完整解答
  1. 倍數須平方；方差不受常數平移影響。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    Var⁡(−2X+7)=(−2)2Var⁡(X)\operatorname{Var}(-2X+7)=(-2)^2\operatorname{Var}(X)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    Var⁡(−2X+7)=12\operatorname{Var}(-2X+7)=12
  4. 負倍數不會產生負方差。
所求值為 12。
檢查與易錯點：負倍數不會產生負方差。
先思考，待同學準備好再展開提示。
08 / 鞏固#獨立練習
遊戲以 1/4 概率派發 8，否則為零；入場費 3。求預期淨收益。
P(W=8)=1/4; P(W=0)=3/4; G=W−3P(W=8)=1/4;\ P(W=0)=3/4;\ G=W-3
  • 有限分佈概率須非負且和為一，相依性只按題目明述。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
預期派發額減去費用。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
E(W)=8/4=2E(W)=8/4=2
完整解答
  1. 預期派發額減去費用。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    E(W)=8/4=2E(W)=8/4=2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    E(G)=2−3=−1E(G)=2-3=-1
  4. 預期虧損是平均值，不表示每次都損失相同金額。
所求值為 -1。
檢查與易錯點：預期虧損是平均值，不表示每次都損失相同金額。
先思考，待同學準備好再展開提示。
09 / 鞏固#獨立練習
獨立 X、Y 的方差為 2 及 5，求 Var(X−Y)。
X⊥Y; Var⁡(X)=2; Var⁡(Y)=5X\perp Y;\ \operatorname{Var}(X)=2;\ \operatorname{Var}(Y)=5
  • X、Y 獨立且方差有限，否則須計協方差。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
負號須平方，獨立性消去協方差。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
Var⁡(X−Y)=Var⁡(X)+Var⁡(Y)\operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)
完整解答
  1. 負號須平方，獨立性消去協方差。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    Var⁡(X−Y)=Var⁡(X)+Var⁡(Y)\operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    Var⁡(X−Y)=7\operatorname{Var}(X-Y)=7
  4. 變量相減不表示方差相減。
所求值為 7。
檢查與易錯點：變量相減不表示方差相減。
先思考，待同學準備好再展開提示。
10 / 鞏固#獨立練習
擬定概率為 0.7、0.4、−0.1，解釋為何不成立。
P=(0.7,0.4,−0.1)P=(0.7,0.4,-0.1)
  • 有限分佈概率須非負且和為一，相依性只按題目明述。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
檢查兩個條件，不只總和。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
0.7+0.4−0.1=10.7+0.4-0.1=1
完整解答
  1. 檢查兩個條件，不只總和。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    0.7+0.4−0.1=10.7+0.4-0.1=1
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    −0.1<0-0.1<0
  4. 正確總和不能修補無效的單一概率。
總和為一，但包含負概率。
檢查與易錯點：正確總和不能修補無效的單一概率。
推理清單・自評／教師評核
  • 檢查兩個條件，不只總和。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 正確總和不能修補無效的單一概率。
先思考，待同學準備好再展開提示。
11 / 鞏固#獨立練習
對有限分佈，解釋 Var(X)=0 的含義。
Var⁡(X)=0\operatorname{Var}(X)=0
  • 有限分佈概率須非負且和為一，相依性只按題目明述。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
非負加權平方和為零，要求每個正權重平方項為零。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
∑xpx(x−μ)2=0\sum_xp_x(x-\mu)^2=0
完整解答
  1. 非負加權平方和為零，要求每個正權重平方項為零。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    ∑xpx(x−μ)2=0\sum_xp_x(x-\mu)^2=0
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    px>0  ⟹  x=μp_x>0\implies x=\mu
  4. 概率為零的標記值不妨礙「幾乎必然」的結論。
X 以概率一等於其平均值。
檢查與易錯點：概率為零的標記值不妨礙「幾乎必然」的結論。
推理清單・自評／教師評核
  • 非負加權平方和為零，要求每個正權重平方項為零。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 概率為零的標記值不妨礙「幾乎必然」的結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
12 / 遷移#獨立練習
E(X)=2、E(X²)=3 能同時成立嗎？證明或反駁。
E(X)=2; E(X2)=3E(X)=2;\ E(X^2)=3
  • 有限分佈概率須非負且和為一，相依性只按題目明述。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
用方差非負作可行條件。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
Var⁡(X)=3−22=−1\operatorname{Var}(X)=3-2^2=-1
完整解答
  1. 用方差非負作可行條件。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    Var⁡(X)=3−22=−1\operatorname{Var}(X)=3-2^2=-1
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    Var⁡(X)≥0\operatorname{Var}(X)\ge0
  4. 數字特徵須符合結構限制，不能只逐個看似合理。
不能；所推出方差為 −1。
檢查與易錯點：數字特徵須符合結構限制，不能只逐個看似合理。
推理清單・自評／教師評核
  • 用方差非負作可行條件。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 數字特徵須符合結構限制，不能只逐個看似合理。
先思考，待同學準備好再展開提示。
13 / 遷移#獨立練習
X 恆為 2，Y 等概率取 0、4。兩者平均相同；誰的方差較大，相差多少？
X=2; P(Y=0)=P(Y=4)=1/2X=2;\ P(Y=0)=P(Y=4)=1/2
  • 有限分佈概率須非負且和為一，相依性只按題目明述。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
比較中心化分佈，不只平均值。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
E(X)=E(Y)=2; Var⁡(X)=0E(X)=E(Y)=2;\ \operatorname{Var}(X)=0
完整解答
  1. 比較中心化分佈，不只平均值。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    E(X)=E(Y)=2; Var⁡(X)=0E(X)=E(Y)=2;\ \operatorname{Var}(X)=0
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    Var⁡(Y)=[(0−2)2+(4−2)2]/2=4\operatorname{Var}(Y)=[(0-2)^2+(4-2)^2]/2=4
  4. 期望相同不代表離散程度相同。
所求值為 4。
檢查與易錯點：期望相同不代表離散程度相同。
先思考，待同學準備好再展開提示。
專注一道題目
課末檢核與訂正
回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。
啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。
    選擇需要重溫的補底知識 ↗
    教師備課與評核
    40 分鐘教案
    分鐘環節教師及學生任務
    5預測預測所有取值乘 −2 再加 7 後的方差。
    8建立概念示例回答：平移不改離散程度，倍數平方為四。
    10引導比較示例回答：X+1−X=1，所以和的方差為零。
    12獨立練習與討論比較同平均值遊戲，檢查擬定數字特徵的可行性。
    5課末檢核與下一步課末：區分 E(X²) 及 E(X)²，指出方差可直接相加的獨立條件。
    提問順序
    • 預測所有取值乘 −2 再加 7 後的方差。
    • 示例回答：X+1−X=1，所以和的方差為零。
    板書發展
    • 先求平均，再中心化量度離散
      E(X)=∑xpx; Var⁡(X)=E(X2)−E(X)2E(X)=\sum xp_x;\ \operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2
    預期正誤回答
    • 正確示例：1
    • 預期錯答：2；未中心化便把二階原點矩當方差。
    • 預期錯答：11；把方差線性放大並加上常數偏移。
    • 概率不同仍使用無權重平均。
    • 未檢查協方差便直接把方差相加。
    追問
    • 追問：先中心化再平方，或用二階矩減平均值平方。 再解釋 2 為何不成立。
    • 追問：把倍數平方，平移常數不影響方差。 再解釋 11 為何不成立。
    • 解釋負倍數為何反轉位置但不使方差為負。
    補救
    • 示例回答：平移不改離散程度，倍數平方為四。
    • 返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。
    離堂檢核
    • 課末：區分 E(X²) 及 E(X)²，指出方差可直接相加的獨立條件。
    評核清單與作答示例
    • 表示法及條件
      0、2 的概率為 3/4、1/4，E(X)=0·3/4+2·1/4=1/2。
    • 連貫數學推理
      公平取 0、2，平均值為 1，兩個離均平方均為 1，故方差為 1。
    • 解釋及邊界檢查
      Y=1−X 時，X+Y=1，方差為零；獨立性不成立。
    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。
    教材與來源說明 ↗