Kenneth Cheng數學・模型・思考
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學習・解釋・訂正

條件、分割與後驗概率

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高三選擇性必修 第三册(A版).pdf · 7.1 · PDF 49 / 印刷頁 44

專題 01

條件、分割與後驗概率

辨識條件組、核對分割，按觀察證據更新先驗。

學完之後，你能解釋

  • 辨識條件組、核對分割，按觀察證據更新先驗。
  • 區分反向條件概率、互斥及獨立。

改變分母

標示可能來自真正次品或誤標，所以其意義取決於先驗比例。

已知 B 時只保留 B 內結果，反向條件則使用另一組。

P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)

  1. 已知 B 時只保留 B 內結果，反向條件則使用另一組。

    P(F)=pα+(1−p)βP(F)=p\alpha+(1-p)\beta

  2. 已知 B 時只保留 B 內結果，反向條件則使用另一組。

    P(D∣F)=pα/[pα+(1−p)β]P(D|F)=p\alpha/[p\alpha+(1-p)\beta]

成立條件

  • P(B)>0，混合分類須互斥且完備。

反例：抽紅後等先驗袋未必仍等可能，正概率互斥事件並不獨立。

  • 雙向頻數表、概率樹及先驗／後驗長條比較。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：保持標示似然不變，預測次品先驗改變如何影響後驗。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

標示組包含兩種聯合貢獻；後驗為 0.5，不等於似然 0.9。Prior 先驗 P(D)P(D|flag 標示)Flags 標示聯合Defective 次品 藍/blue; good 良品 橙/orange; full 全寬 = 1

標示組包含兩種聯合貢獻；後驗為 0.5，不等於似然 0.9。

圖像的數值資料，可列印
狀態標示聯合概率未標示聯合概率
Defective / 次品0.090.01
Good / 良品0.090.81
Total / 合計0.180.82

解釋：讀取兩種聯合貢獻，分母是全部標示。

遷移：找出後驗為一半的先驗，解釋零標示概率的邊界。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 基礎#示範例題

班上 30 人，12 人玩音樂，其中 5 人玩象棋。已知玩音樂，求玩象棋概率。

N=30; n(M)=12; n(C∩M)=5N=30;\ n(M)=12;\ n(C\cap M)=5
  • 在題述人員中等可能選取，條件組須非空。
考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。

計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
條件使分母限制為音樂組人數。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
P(C∣M)=n(C∩M)/n(M)P(C|M)=n(C\cap M)/n(M)
完整解答
  1. 條件使分母限制為音樂組人數。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    P(C∣M)=n(C∩M)/n(M)P(C|M)=n(C\cap M)/n(M)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(C∣M)=5/12P(C|M)=5/12
  4. 全班人數作分母回答的是聯合概率問題。
所求值為 0.4166666666666667。
檢查與易錯點：全班人數作分母回答的是聯合概率問題。
先思考，待同學準備好再展開提示。
02 / 鞏固#示範例題
以 0.4 概率選機器 A，否則 B；次品率為 0.1 及 0.2。求次品概率。
P(A)=0.4; P(D∣A)=0.1; P(D∣B)=0.2P(A)=0.4;\ P(D|A)=0.1;\ P(D|B)=0.2
已提供首步，請接續推理：按選機概率加權條件次品率。
  • 分類須互斥且完備，後驗比值須有正的證據概率。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
按選機概率加權條件次品率。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
P(D)=0.4(0.1)+0.6(0.2)P(D)=0.4(0.1)+0.6(0.2)
完整解答
  1. 按選機概率加權條件次品率。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    P(D)=0.4(0.1)+0.6(0.2)P(D)=0.4(0.1)+0.6(0.2)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(D)=0.16P(D)=0.16
  4. 直接平均忽略不同的先驗概率。
所求值為 0.16。
檢查與易錯點：直接平均忽略不同的先驗概率。
先思考，待同學準備好再展開提示。
03 / 遷移#示範例題
非醫療檢測中，真正次品佔 10%；會標示 90% 次品及 10% 良品。已被標示，求次品概率。
P(D)=0.1; P(F∣D)=0.9; P(F∣Dc)=0.1P(D)=0.1;\ P(F|D)=0.9;\ P(F|D^c)=0.1
  • 分類須互斥且完備，後驗比值須有正的證據概率。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先建立兩分支聯合概率樹，再反轉條件。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
P(D∩F)=0.09; P(F)=0.09+0.09=0.18P(D\cap F)=0.09;\ P(F)=0.09+0.09=0.18
完整解答
  1. 先建立兩分支聯合概率樹，再反轉條件。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    P(D∩F)=0.09; P(F)=0.09+0.09=0.18P(D\cap F)=0.09;\ P(F)=0.09+0.09=0.18
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(D∣F)=0.09/0.18=0.5P(D|F)=0.09/0.18=0.5
  4. 90% 檢出率不是 90% 後驗概率。
所求值為 0.5。
檢查與易錯點：90% 檢出率不是 90% 後驗概率。
先思考，待同學準備好再展開提示。
04 / 基礎#獨立練習
P(A∩B)=0.12、P(B)=0.3，求 P(A|B)。
P(A∩B)=0.12; P(B)=0.3P(A\cap B)=0.12;\ P(B)=0.3
  • 基本條件比值要求條件概率為正；若不成立須明確指出。
考點與先備課節
範圍：JM01 / JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
除以條件事件概率。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)
完整解答
  1. 除以條件事件概率。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(A∣B)=0.4P(A|B)=0.4
  4. 檢查條件事件概率為正。
所求值為 0.4。
檢查與易錯點：檢查條件事件概率為正。
先思考，待同學準備好再展開提示。
05 / 基礎#獨立練習
P(A∩B)=0.12、P(A)=0.2，求 P(B|A)。
P(A∩B)=0.12; P(A)=0.2P(A\cap B)=0.12;\ P(A)=0.2
  • 基本條件比值要求條件概率為正；若不成立須明確指出。
考點與先備課節
範圍：JM01 / JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
條件反轉時分母也改變。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
P(B∣A)=0.12/0.2P(B|A)=0.12/0.2
完整解答
  1. 條件反轉時分母也改變。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    P(B∣A)=0.12/0.2P(B|A)=0.12/0.2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(B∣A)=0.6P(B|A)=0.6
  4. 條件概率不必對稱。
所求值為 0.6。
檢查與易錯點：條件概率不必對稱。
先思考，待同學準備好再展開提示。
06 / 基礎#獨立練習
袋中 4 紅 3 藍，不放回抽取；已知首球為紅，求第二球為藍的概率。
R=4; B=3R=4;\ B=3
  • 除明列放回比較模型外，從剩餘有限袋中等可能且不放回抽取。
考點與先備課節
範圍：JM01 / JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先移除已知抽到的紅球。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
Rremaining=3; Bremaining=3R_{remaining}=3;\ B_{remaining}=3
完整解答
  1. 先移除已知抽到的紅球。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    Rremaining=3; Bremaining=3R_{remaining}=3;\ B_{remaining}=3
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(B2∣R1)=3/6=1/2P(B_2|R_1)=3/6=1/2
  4. 第二次分母為 6，而不是 7。
所求值為 0.5。
檢查與易錯點：第二次分母為 6，而不是 7。
先思考，待同學準備好再展開提示。
07 / 基礎#獨立練習
P(B)=0 時，可用基本比值公式求 P(A|B) 嗎？
P(B)=0P(B)=0
  • 基本條件比值要求條件概率為正；若不成立須明確指出。
考點與先備課節
範圍：JM01 / JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
相除前先檢查分母。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
P(A∩B)=0P(A\cap B)=0
完整解答
  1. 相除前先檢查分母。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    P(A∩B)=0P(A\cap B)=0
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(A∣B)=0/0 is undefined by this formulaP(A|B)=0/0\text{ is undefined by this formula}
  4. 不能把未定義的條件比值指定為零。
不可以；基本比值的分母為零。
檢查與易錯點：不能把未定義的條件比值指定為零。
推理清單・自評／教師評核
  • 相除前先檢查分母。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 不能把未定義的條件比值指定為零。
先思考，待同學準備好再展開提示。
08 / 鞏固#獨立練習
P(A)=0.4、P(B)=0.5、P(A∩B)=0.2。A、B 獨立嗎？
P(A)=0.4; P(B)=0.5; P(A∩B)=0.2P(A)=0.4;\ P(B)=0.5;\ P(A\cap B)=0.2
  • 用 P(A∩B)=P(A)P(B) 判別獨立，保留題述交集或互斥條件。
考點與先備課節
範圍：JM01 / JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
用定義，不是看兩事件能否同時發生。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
P(A)P(B)=0.4(0.5)=0.2P(A)P(B)=0.4(0.5)=0.2
完整解答
  1. 用定義，不是看兩事件能否同時發生。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    P(A)P(B)=0.4(0.5)=0.2P(A)P(B)=0.4(0.5)=0.2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B)
  4. 獨立事件可以有交集。
獨立，因交集概率等於概率乘積。
檢查與易錯點：獨立事件可以有交集。
推理清單・自評／教師評核
  • 用定義，不是看兩事件能否同時發生。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 獨立事件可以有交集。
先思考，待同學準備好再展開提示。
09 / 鞏固#獨立練習
有重疊的 A、B 可直接作全概率公式的兩分類分割嗎？
P(A∩B)>0P(A\cap B)>0
  • 分類須互斥且完備。只對概率為正的分類使用條件因子；零概率分類透過其聯合概率貢獻零。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分割不能把同一結果計兩次。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
Ω=A∪˙Ac\Omega=A\mathbin{\dot\cup}A^c
完整解答
  1. 分割不能把同一結果計兩次。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    Ω=A∪˙Ac\Omega=A\mathbin{\dot\cup}A^c
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(F)=P(F∩A)+P(F∩Ac)P(F)=P(F\cap A)+P(F\cap A^c)
  4. 建立並化簡此數學關係式。
    P(F∩C)=P(F∣C)P(C)if P(C)>0P(F\cap C)=P(F|C)P(C)\quad\text{if }P(C)>0
  5. 建立並化簡此數學關係式。
    P(C)=0  ⟹  P(F∩C)=0P(C)=0\implies P(F\cap C)=0
  6. 零概率分類使用零的聯合貢獻，不使用未定義條件概率。重疊分類的乘積和可能重複計算結果。
不可以；先建立互斥且完備的分割。
檢查與易錯點：零概率分類使用零的聯合貢獻，不使用未定義條件概率。重疊分類的乘積和可能重複計算結果。
推理清單・自評／教師評核
  • 分割不能把同一結果計兩次。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 零概率分類使用零的聯合貢獻，不使用未定義條件概率。重疊分類的乘積和可能重複計算結果。
先思考，待同學準備好再展開提示。
10 / 鞏固#獨立練習
先驗概率 0.4、0.6，次品率 0.1、0.2，求 P(A|次品)。
P(A)=0.4; P(D∣A)=0.1; P(D∣B)=0.2P(A)=0.4;\ P(D|A)=0.1;\ P(D|B)=0.2
  • 分類須互斥且完備，後驗比值須有正的證據概率。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
A 的次品貢獻除以全部次品貢獻。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
P(A∩D)=0.04; P(D)=0.16P(A\cap D)=0.04;\ P(D)=0.16
完整解答
  1. A 的次品貢獻除以全部次品貢獻。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    P(A∩D)=0.04; P(D)=0.16P(A\cap D)=0.04;\ P(D)=0.16
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(A∣D)=0.04/0.16=0.25P(A|D)=0.04/0.16=0.25
  4. 觀察到次品後，先驗 0.4 已改變。
所求值為 0.25。
檢查與易錯點：觀察到次品後，先驗 0.4 已改變。
先思考，待同學準備好再展開提示。
11 / 鞏固#獨立練習
40 名走讀生及 20 名宿生中，分別 10 及 12 人使用圖書館。已知使用圖書館，求宿生概率。
n(D)=40; n(B)=20; n(L∩D)=10; n(L∩B)=12n(D)=40;\ n(B)=20;\ n(L\cap D)=10;\ n(L\cap B)=12
  • 在題述人員中等可能選取，條件組須非空。
考點與先備課節
範圍：JM01 / JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
只保留雙向表的圖書館欄。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
n(L)=10+12=22n(L)=10+12=22
完整解答
  1. 只保留雙向表的圖書館欄。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    n(L)=10+12=22n(L)=10+12=22
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(B∣L)=12/22=6/11P(B|L)=12/22=6/11
  4. 條件組有 22 人，不是全部 60 人。
所求值為 0.5454545454545454。
檢查與易錯點：條件組有 22 人，不是全部 60 人。
先思考，待同學準備好再展開提示。
12 / 遷移#獨立練習
等概率選袋。A 有 3 紅 1 藍，B 有 1 紅 3 藍；從所選袋不放回抽到兩紅後，求選 A 的概率。
P(A)=P(B)=1/2; A:(3R,1B); B:(1R,3B)P(A)=P(B)=1/2;\ A:(3R,1B);\ B:(1R,3B)
  • 除明列放回比較模型外，從剩餘有限袋中等可能且不放回抽取。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
利用 B 袋不可能抽到兩红。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
P(RR∣A)=(3/4)(2/3)=1/2; P(RR∣B)=0P(RR|A)=(3/4)(2/3)=1/2;\ P(RR|B)=0
完整解答
  1. 利用 B 袋不可能抽到兩红。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    P(RR∣A)=(3/4)(2/3)=1/2; P(RR∣B)=0P(RR|A)=(3/4)(2/3)=1/2;\ P(RR|B)=0
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    P(A∣RR)=[(1/2)(1/2)]/[(1/2)(1/2)]=1P(A|RR)=[(1/2)(1/2)]/[(1/2)(1/2)]=1
  4. 袋內抽取相依不妨礙貝葉斯公式，但須使用正確似然。
所求值為 1。
檢查與易錯點：袋內抽取相依不妨礙貝葉斯公式，但須使用正確似然。
先思考，待同學準備好再展開提示。
13 / 遷移#獨立練習
標示次品及良品的概率分別為 0.8 及 0.2。何種次品先驗 p 使標示後次品概率為 1/2？
P(F∣D)=0.8; P(F∣Dc)=0.2P(F|D)=0.8;\ P(F|D^c)=0.2
  • 分類須互斥且完備，後驗比值須有正的證據概率。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
後驗為一半時，把兩種聯合貢獻設為相等。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
0.8p=0.2(1−p)0.8p=0.2(1-p)
完整解答
  1. 後驗為一半時，把兩種聯合貢獻設為相等。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    0.8p=0.2(1−p)0.8p=0.2(1-p)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    p=0.2p=0.2
  4. 似然不同時，先驗不必為一半。
所求值為 0.2。
檢查與易錯點：似然不同時，先驗不必為一半。
先思考，待同學準備好再展開提示。
專注一道題目
課末檢核與訂正
回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。
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    選擇需要重溫的補底知識 ↗
    教師備課與評核
    40 分鐘教案
    分鐘環節教師及學生任務
    5預測預測 90% 標示率是否保證 90% 次品後驗概率。
    8建立概念示例回答：100 件中 9 次品及 9 良品被標示，後驗為一半。
    10引導比較示例回答：已知音樂，故用 5/12 而非 5/30。
    12獨立練習與討論學生標示分母，比較一次及兩次抽取的證據。
    5課末檢核與下一步課末：指出條件事件、其正概率及互斥貢獻。
    提問順序
    • 預測 90% 標示率是否保證 90% 次品後驗概率。
    • 示例回答：已知音樂，故用 5/12 而非 5/30。
    板書發展
    • 改變分母
      P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)
    預期正誤回答
    • 正確示例：0.4
    • 預期錯答：0.16；已知子組條件後仍以全體作分母。
    • 預期錯答：是，互斥就是獨立。；把互斥等同獨立。
    • 已知條件後仍使用全部母體作分母。
    • 把似然當成後驗概率。
    追問
    • 追問：限制在騎車組。 再解釋 0.16 為何不成立。
    • 追問：比較交集概率及乘積。 再解釋 是，互斥就是獨立。 為何不成立。
    • 找出後驗為一半的先驗，解釋零標示概率的邊界。
    補救
    • 示例回答：100 件中 9 次品及 9 良品被標示，後驗為一半。
    • 返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。
    離堂檢核
    • 課末：指出條件事件、其正概率及互斥貢獻。
    評核清單與作答示例
    • 表示法及條件
      已知音樂，合資格組有 12 人，故概率為 5/12。
    • 連貫數學推理
      次品聯合貢獻為 0.09，全部標示為 0.18，故後驗為 1/2。
    • 解釋及邊界檢查
      若所有標示貢獻均為零，P(標示)=0，基本後驗未定義。
    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。
    教材與來源說明 ↗