← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

標示次品及良品的概率分別為 0.8 及 0.2。何種次品先驗 p 使標示後次品概率為 1/2？

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

返回課節／試卷 ↗

高三選擇性必修第三册(A版).pdf · 7.1 · PDF 49 / 印刷頁 44

專題 01

條件、分割與後驗概率

辨識條件組、核對分割，按觀察證據更新先驗。

學完之後，你能解釋

辨識條件組、核對分割，按觀察證據更新先驗。
區分反向條件概率、互斥及獨立。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 遷移#獨立練習

標示次品及良品的概率分別為 0.8 及 0.2。何種次品先驗 p 使標示後次品概率為 1/2？

P(F|D)=0.8;\ P(F|D^c)=0.2

分類須互斥且完備，後驗比值須有正的證據概率。

考點與先備課節

範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

後驗為一半時，把兩種聯合貢獻設為相等。

提示 2

先從這個中間關係式入手。

0.8p=0.2(1-p)

完整解答

後驗為一半時，把兩種聯合貢獻設為相等。
建立並化簡此數學關係式。
$0.8p=0.2(1-p)$
建立並化簡此數學關係式。
$p=0.2$
似然不同時，先驗不必為一半。

所求值為 0.2。

檢查與易錯點：似然不同時，先驗不必為一半。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	預測	預測 90% 標示率是否保證 90% 次品後驗概率。
8	建立概念	示例回答：100 件中 9 次品及 9 良品被標示，後驗為一半。
10	引導比較	示例回答：已知音樂，故用 5/12 而非 5/30。
12	獨立練習與討論	學生標示分母，比較一次及兩次抽取的證據。
5	課末檢核與下一步	課末：指出條件事件、其正概率及互斥貢獻。

提問順序

預測 90% 標示率是否保證 90% 次品後驗概率。
示例回答：已知音樂，故用 5/12 而非 5/30。

板書發展

改變分母
$P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)$

預期正誤回答

正確示例：0.4
預期錯答：0.16；已知子組條件後仍以全體作分母。
預期錯答：是，互斥就是獨立。；把互斥等同獨立。
已知條件後仍使用全部母體作分母。
把似然當成後驗概率。

追問

追問：限制在騎車組。再解釋 0.16 為何不成立。
追問：比較交集概率及乘積。再解釋是，互斥就是獨立。為何不成立。
找出後驗為一半的先驗，解釋零標示概率的邊界。

補救

示例回答：100 件中 9 次品及 9 良品被標示，後驗為一半。
返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。

離堂檢核

課末：指出條件事件、其正概率及互斥貢獻。

評核清單與作答示例

表示法及條件
已知音樂，合資格組有 12 人，故概率為 5/12。
連貫數學推理
次品聯合貢獻為 0.09，全部標示為 0.18，故後驗為 1/2。
解釋及邊界檢查
若所有標示貢獻均為零，P(標示)=0，基本後驗未定義。