← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

X 為公平伯努利變量，Y=1−X。求 Var(X+Y)，說明為何不能直接把方差相加。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

返回課節／試卷 ↗

高三選擇性必修第三册(A版).pdf · 7.3 · PDF 67 / 印刷頁 62

先重溫：條件、分割與後驗概率

專題 01

分佈期望、方差與相依

計算加權數字特徵，按正確單位及相依條件使用平移與倍數公式。

學完之後，你能解釋

計算加權數字特徵，按正確單位及相依條件使用平移與倍數公式。
用方差非負排除不可能摘要，比較同平均值分佈。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 遷移#示範例題

X 為公平伯努利變量，Y=1−X。求 Var(X+Y)，說明為何不能直接把方差相加。

P(X=0)=P(X=1)=1/2;\ Y=1-X

有限分佈概率須非負且和為一，相依性只按題目明述。

考點與先備課節

範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用獨立公式前先觀察和。

提示 2

先從這個中間關係式入手。

X+Y=1

完整解答

使用獨立公式前先觀察和。
建立並化簡此數學關係式。
$X+Y=1$
建立並化簡此數學關係式。
$\operatorname{Var}(X+Y)=0;\ \operatorname{Cov}(X,Y)=-1/4$
兩變量完全相依，不是獨立。

所求值為 0。

檢查與易錯點：兩變量完全相依，不是獨立。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	預測	預測所有取值乘 −2 再加 7 後的方差。
8	建立概念	示例回答：平移不改離散程度，倍數平方為四。
10	引導比較	示例回答：X+1−X=1，所以和的方差為零。
12	獨立練習與討論	比較同平均值遊戲，檢查擬定數字特徵的可行性。
5	課末檢核與下一步	課末：區分 E(X²) 及 E(X)²，指出方差可直接相加的獨立條件。

提問順序

預測所有取值乘 −2 再加 7 後的方差。
示例回答：X+1−X=1，所以和的方差為零。

板書發展

先求平均，再中心化量度離散
$E(X)=\sum xp_x;\ \operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2$

預期正誤回答

正確示例：1
預期錯答：2；未中心化便把二階原點矩當方差。
預期錯答：11；把方差線性放大並加上常數偏移。
概率不同仍使用無權重平均。
未檢查協方差便直接把方差相加。

追問

追問：先中心化再平方，或用二階矩減平均值平方。再解釋 2 為何不成立。
追問：把倍數平方，平移常數不影響方差。再解釋 11 為何不成立。
解釋負倍數為何反轉位置但不使方差為負。

補救

示例回答：平移不改離散程度，倍數平方為四。
返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。

離堂檢核

課末：區分 E(X²) 及 E(X)²，指出方差可直接相加的獨立條件。

評核清單與作答示例

表示法及條件
0、2 的概率為 3/4、1/4，E(X)=0·3/4+2·1/4=1/2。
連貫數學推理
公平取 0、2，平均值為 1，兩個離均平方均為 1，故方差為 1。
解釋及邊界檢查
Y=1−X 時，X+Y=1，方差為零；獨立性不成立。