定義關係
把正態變量標準化，解釋所提供的表概率及對稱性。
學習・解釋・訂正
正態分佈
先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。
高三選擇性必修 第三册(A版).pdf · 7.5 · PDF 88 / 印刷頁 83
先重溫：離散型隨機變量的數字特徵
專題 01
正態分佈
把正態變量標準化，解釋所提供的表概率及對稱性。
學完之後，你能解釋
- 把正態變量標準化，解釋所提供的表概率及對稱性。
- 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。
適用條件
σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。
預測 → 操作 → 解釋 → 遷移
先留下預測，再探索關係。
課節思考：平移平均數會改變落在一個標準差內的概率嗎？
模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。
正態密度：μ=0、σ=1；為方便顯示，縱軸放大四倍。P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，不隨位置或尺度改變。
解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。
遷移：比較兩個正態模型中相同的標準化區間。
試一試，把思路寫下來。
每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。
X~N(t,4)。求標準差。
- σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
完整解答
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
運用所列關係式，並保留適用條件。
方差4的平方根為2。
所求值為 2。
檢查與易錯點：方差4的平方根為2。
先思考，待同學準備好再展開提示。
X~N(t,9)，Φ(2)=0.9772。求 P(X>t+6)。
- σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
使用此中間關係式。
完整解答
以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
所求事件為右尾，不是左側累積概率。
所求值為 0.0228。
檢查與易錯點：所求事件為右尾，不是左側累積概率。
先思考，待同學準備好再展開提示。
A~N(t,4)、B~N(t+10,9)。比較 P(A≤t+2) 及 P(B≤t+13)。
- σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
把每個界限分別標準化。
完整解答
以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
即使平均數及尺度不同，相同 z 值仍給出相同概率。
所求關係或結論如下。
檢查與易錯點：即使平均數及尺度不同，相同 z 值仍給出相同概率。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出有效的定義或模型及其假設。
- 展示中間數學關係，不只寫出結論。
- 檢查排除值、單位或結果的意義。
先思考，待同學準備好再展開提示。
X~N(t,4)。求標準差。
- σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
完整解答
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
運用所列關係式，並保留適用條件。
方差4的平方根為2。
所求值為 2。
檢查與易錯點：方差4的平方根為2。
先思考，待同學準備好再展開提示。
在 X~N(t,4) 下，把 x=t+4 標準化，求 z。
- σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
完整解答
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
運用所列關係式，並保留適用條件。
除以標準差，不是方差。
所求值為 2。
檢查與易錯點：除以標準差，不是方差。
先思考，待同學準備好再展開提示。
X~N(t,4)，Φ(1)=0.8413。求 P(X≤t+2)。
- σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
使用此中間關係式。
完整解答
以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
所求上界在平均數以上一個標準差。
所求值為 0.8413。
檢查與易錯點：所求上界在平均數以上一個標準差。
先思考，待同學準備好再展開提示。
X~N(t,4)，Φ(1)=0.8413。求 P(t−2≤X≤t+2)。
- σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
使用此中間關係式。
完整解答
以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
須減去左尾，不是把兩個累積概率相加。
所求值為 0.6826。
檢查與易錯點：須減去左尾，不是把兩個累積概率相加。
先思考，待同學準備好再展開提示。
X~N(t,4)，Φ(1)=0.8413。求 P(t−2≤X≤t+2)。
- σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
使用此中間關係式。
完整解答
以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
須減去左尾，不是把兩個累積概率相加。
所求值為 0.6826。
檢查與易錯點：須減去左尾，不是把兩個累積概率相加。
先思考，待同學準備好再展開提示。
X~N(t,9)，Φ(2)=0.9772。求 P(X>t+6)。
- σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
使用此中間關係式。
完整解答
以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
所求事件為右尾，不是左側累積概率。
所求值為 0.0228。
檢查與易錯點：所求事件為右尾，不是左側累積概率。
先思考，待同學準備好再展開提示。
X~N(t,4)。求 P(X=t)。
- σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
連續分佈的單點概率為零。
完整解答
以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
平均數處密度最大，但單點概率仍為零。
所求值為 0。
檢查與易錯點：平均數處密度最大，但單點概率仍為零。
先思考，待同學準備好再展開提示。
A~N(t,4)、B~N(t+10,9)。比較 P(A≤t+2) 及 P(B≤t+13)。
- σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
把每個界限分別標準化。
完整解答
以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
即使平均數及尺度不同，相同 z 值仍給出相同概率。
所求關係或結論如下。
檢查與易錯點：即使平均數及尺度不同，相同 z 值仍給出相同概率。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出有效的定義或模型及其假設。
- 展示中間數學關係，不只寫出結論。
- 檢查排除值、單位或結果的意義。
先思考，待同學準備好再展開提示。
X~N(t,4)。求 P(X=t)。
- σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
連續分佈的單點概率為零。
完整解答
以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
平均數處密度最大，但單點概率仍為零。
所求值為 0。
檢查與易錯點：平均數處密度最大，但單點概率仍為零。
先思考，待同學準備好再展開提示。
A~N(t,4)、B~N(t+10,9)。比較 P(A≤t+2) 及 P(B≤t+13)。
- σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
把每個界限分別標準化。
完整解答
以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
即使平均數及尺度不同，相同 z 值仍給出相同概率。
所求關係或結論如下。
檢查與易錯點：即使平均數及尺度不同，相同 z 值仍給出相同概率。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出有效的定義或模型及其假設。
- 展示中間數學關係，不只寫出結論。
- 檢查排除值、單位或結果的意義。
先思考，待同學準備好再展開提示。
課末檢核與訂正
回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。
啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。
教師備課與評核
提問順序
- 把正態變量標準化，解釋所提供的表概率及對稱性。
- 「正態分佈」中哪一個條件不可缺少？
- 平移平均數會改變落在一個標準差內的概率嗎？
板書重點
- 定義關係：把正態變量標準化，解釋所提供的表概率及對稱性。
- 適用條件：σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。
預期想法
- N(μ,σ²) 第二參數為方差，不是標準差。
評核清單
- 1分：選取正確表示法及條件。
- 1分：建立中間關係式。
- 1分：完成連貫的計算或證明。
- 1分：解釋並檢查結論。