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學習・解釋・訂正

6 個物件恰有 2 紅，不放回抽取全部 6 個，紅球數的平均值及方差為何？

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高三選擇性必修第三册(A版).pdf · 7.4 · PDF 77 / 印刷頁 72

先重溫：條件、分割與後驗概率分佈期望、方差與相依

專題 01

選擇二項、超幾何與正態模型

先按假設及可能值選模型，再計概率或數字特徵。

學完之後，你能解釋

先按假設及可能值選模型，再計概率或數字特徵。
處理抽取全體及確定性邊界，標準化連續正態變量。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 遷移#獨立練習

6 個物件恰有 2 紅，不放回抽取全部 6 個，紅球數的平均值及方差為何？

N=6;\ K=2;\ n=6

除明列放回比較模型外，從剩餘有限袋中等可能且不放回抽取。

考點與先備課節

範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

抽取全部物件的邊界不再有數目不確定性。

提示 2

先從這個中間關係式入手。

P(X=2)=1

完整解答

抽取全部物件的邊界不再有數目不確定性。
建立並化簡此數學關係式。
$P(X=2)=1$
建立並化簡此數學關係式。
$E(X)=2;\ \operatorname{Var}(X)=0$
二項方差會為正，屬錯誤模型。

平均值 2，方差 0；數目已固定。

檢查與易錯點：二項方差會為正，屬錯誤模型。

推理清單・自評／教師評核

抽取全部物件的邊界不再有數目不確定性。
列出中間關係，連同限制解釋結論。
二項方差會為正，屬錯誤模型。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	預測	預測紅球較多的有限袋，放回是否增加兩紅概率。
8	建立概念	示例回答：不放回時，抽紅後成功比例下降。
10	引導比較	示例回答：放回 9/25、不放回 3/10，可列舉二球組合核對。
12	獨立練習與討論	按假設分類情境，並用整數檢查可靠度題。
5	課末檢核與下一步	課末：全抽六個物件且其中兩紅時，X 必為 2，方差為零。

提問順序

預測紅球較多的有限袋，放回是否增加兩紅概率。
示例回答：放回 9/25、不放回 3/10，可列舉二球組合核對。

板書發展

機制決定模型
$P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}$

預期正誤回答

正確示例：超幾何
預期錯答：不檢查條件便用二項；只因試驗次數固定便認為可用二項模型。
預期錯答：9；把正態方差參數當成標準差。
只因次數固定便選二項。
把正態方差當成標準差。

追問

追問：追蹤有限母體的不放回抽樣。再解釋不檢查條件便用二項為何不成立。
追問：第二參數讀作方差。再解釋 9 為何不成立。
令 n=N，解釋不放回時為何只可能有 K 次成功。

補救

示例回答：不放回時，抽紅後成功比例下降。
返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。

離堂檢核

課末：全抽六個物件且其中兩紅時，X 必為 2，方差為零。

評核清單與作答示例

表示法及條件
不放回使下次成功比例改變，所以有限計數使用超幾何。
連貫數學推理
五件中三紅，兩紅概率為 (3/5)(2/4)=3/10。
解釋及邊界檢查
全抽有兩紅的袋時 X 必為 2，方差為零。