圓錐曲線交點、弦與逆問題

1. 餘下二次式只含x。

   $$x^2/9=3/4$$

2. 把每個x配上原y。

   $$(x,y)=(\pm3\sqrt3/2,1)$$

(±3√3/2,1)。

檢查與易錯點：只有x根，不是完整交點。

1. 方程包含零根。

   $$x^2-4x=x(x-4)=0$$

2. 把每根代回y=x。

   $$(x,y)=(0,0),(4,4)$$

(0,0)及(4,4)。

檢查與易錯點：除以x會漏掉頂點。

1. 二次項抵消。

   $$-2kx-k^2=1$$

2. k零時矛盾；非零時有一個有限交點。

   $$x=-(1+k^2)/(2k),\ y=(k^2-1)/(2k)$$

3. 斜率一不可能是切線方向，否則要求曲線上x=y。

k=0時無交點；k≠0時有一個非相切交點。

檢查與易錯點：判別式檢驗先假設方程確實為二次。

1. 令y=0，得x=±3。

   $$x^2=9$$

2. 量度兩頂點之間。

   $$L=3-(-3)=6$$

長度6。

檢查與易錯點：一條半軸只是這條弦的一半。

1. 代入y=3。

   $$x^2/9=1-9/4=-5/4$$

2. 沒有實數x滿足。

零個交點。

檢查與易錯點：不可把負數開成實數平方根。

1. 消元式為完全平方。

   $$(x+1)^2=4x\Rightarrow(x-1)^2=0$$

2. 代回並檢查斜率。

   $$(x,y)=(1,2),\ 2y y\prime=4\Rightarrow y\prime=1$$

在(1,2)相切。

檢查與易錯點：須檢查二次首項係數非零。

1. 兩端點形成相反點對。

   $$B=-A$$

2. 平均即中心。

   $$(A+B)/2=(0,0)$$

中點為(0,0)。

檢查與易錯點：此推理要求弦經中心，不適用任意弦。

1. 去分母。

   $$13x^2+18bx+9b^2-36=0$$

2. 解判別式為零的方程。

   $$\Delta=144(13-b^2)=0$$

b²=13，故b=±√13。

檢查與易錯點：有兩條平行切線，分處兩側。

1. 代入後得根和−18/13。

   $$13x^2+18x-27=0$$

2. 把根和減半，再用y=x+1。

   $$M=(-9/13,4/13)$$

M=(−9/13,4/13)。

檢查與易錯點：弦中點通常在橢圓內，不在其上。

1. 切線方程固定x。

   $$x=3$$

2. 其斜率未定義，沒有有限m適用。

x=3。

檢查與易錯點：斜率式參數表示會漏掉垂直線。

1. 求x坐標平方。

   $$x^2=27/4$$

2. 把整條弦長平方。

   $$L^2=4x^2=27$$

L²=27。

檢查與易錯點：長度加倍，平方變四倍。

1. 消元二次式給出中點參數。

   $$h=-9m/(4+9m^2),\ k=4/(4+9m^2)$$

2. 消去m並配方。

   $$h^2/9+k(k-1)/4=0$$

3. 有限m給k>0；垂直弦補入(0,0)。其餘軌跡點可還原m=−4h/(9k)。

   $$h^2/(9/16)+(k-1/2)^2/(1/4)=1$$

完整橢圓h²/(9/16)+(k−1/2)²/(1/4)=1。

檢查與易錯點：只作消元，會掩蓋斜率形式漏掉的點。

1. 中點條件給和2及平方和16。

   $$y_1+y_2=2,\ y_1^2+y_2^2=16\Rightarrow y_1y_2=-6$$

2. 縱坐標滿足同一二次式。

   $$y^2-2y-6=0\Rightarrow y=1\pm\sqrt7$$

3. 用x=y²/4，並匹配符號。

   $$(x,y)=(2\pm\sqrt7/2,1\pm\sqrt7),\ 2x-y=3$$

弦線2x−y=3；端點(2±√7/2,1±√7)，符號相配。

檢查與易錯點：兩個±符號相連，不是可獨立選成四點。