求橢圓與直線的兩個交點。
考點與先備課節
範圍：JM01 / JM02
最近作答（最多五次）
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
代入固定y坐標。
提示 2
保留平方根兩個符號。
完整解答
餘下二次式只含x。
把每個x配上原y。
(±3√3/2,1)。
檢查與易錯點：只有x根，不是完整交點。
推理清單・自評／教師評核
- (±3√3/2,1)。
- 只有x根，不是完整交點。
先思考，待同學準備好再展開提示。
學習・解釋・訂正
求橢圓與直線的兩個交點。
先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。
專題 01
圓錐曲線交點、弦與逆問題
檢查次數及定義域後解直線曲線聯立式；用韋達求中點軌跡，由中點還原弦。
學完之後，你能解釋
- 保留所有根並代回原聯立式。
- 只對真正二次方程使用判別式。
- 利用根和根積，避免不必要地逐一求端點。
試一試，把思路寫下來。
每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。
例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。
教師備課與評核
40 分鐘教案
| 分鐘 | 環節 | 教師及學生任務 |
|---|---|---|
| 5 | 預測與診斷 | 找出一份解答漏掉的零根。 |
| 8 | 概念推導 | 推導橢圓直線二次式及韋達中點。 |
| 10 | 引導應用 | 分類割線、切線、外離及降次情況。 |
| 12 | 遷移與解釋 | 還原一條弦，並包括垂直情況地證明完整中點軌跡。 |
| 5 | 離堂證據 | 在判別式準則旁寫出次數條件。 |
提問順序
- 代入後實際是幾次？
- 不寫出兩個根式，能否求中點？
板書發展
- 把次數檢查寫在判別式之前，根後寫代回檢查。
- 中點軌跡另留一格處理垂直弦及反向參數還原。
預期正誤回答
- 學生只證弦中點滿足橢圓式；追問橢圓上任意點如何還原一條弦。
- 正確作答：「分解x(x−4)＝0時保留x＝0，再用y＝x。」
- 錯誤作答：「除以x得x＝4，所以只有交點(4,4)。」
追問
- 拋物線逆向弦題中，哪個資料決定斜率？
補救
- 先分解x(x−4)＝0，不先除法；逐點代入y＝x。
離堂檢核
- 說出用Δ＝0判相切前須補的檢查。
評核清單與作答示例
- 評核次數、完整保根、代回及雙向軌跡論證。示例：有限m涵蓋k>0；垂直弦補上(0,0)，完成中點軌跡。
正確作答：「分解x(x−4)＝0時保留x＝0，再用y＝x。」