學習・解釋・訂正

橢圓：定義、軸與限制

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修第一册(A版).pdf · 3.1 · PDF 110 / 印刷頁 105

專題 01

橢圓：定義、軸與限制

由距離和建立橢圓，辨認長軸方向，分辨真正橢圓與邊界軌跡。

學完之後，你能解釋

連結焦點定義與a²＝b²＋c²。
閱讀平移及直長軸橢圓，不混淆分母與長度。
用縮放求線性量最值，並檢查軌跡可行性。

定和須大於焦點距離

定義讓我們在處理兩個根式前，先排除不可能的資料。

焦點(±c,0)的非退化橢圓，其距離和2a須大於2c；另一半軸滿足b²＝a²−c²。

x^2/a^2+y^2/b^2=1,\quad c^2=a^2-b^2

長軸頂點的兩焦距和為2a。
$(a-c)+(a+c)=2a$
短軸頂點的兩焦距各為a。
$b^2+c^2=a^2$

成立條件

計算焦點量時，以a表示較大半軸。
兩半軸相等給圓；焦距和等於焦點距離給線段。

反例：焦點距離6時，距離和5不可能；距離和6給線段，不是非退化橢圓。

距離和定義↔標準方程↔縮放單位圓。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：預測兩半軸大小交換時焦點落在哪一軸。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

長軸跟隨較大半軸。半軸零為邊界線段，兩者皆零為點；相等正半軸給圓。

圖像的數值資料，可列印
量	數值
a_horizontal / 水平半軸	4
b_vertical / 垂直半軸	2
c	3.46410162
PF1+PF2	8
2 × major semiaxis / 長半軸兩倍	8

解釋：焦點距離由半軸平方差求得；半軸為零時顯示邊界線段。

遷移：找出圓的設定，解釋重合焦點為何仍符合距離和定義。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 基礎#示範例題

辨認長軸、焦點及離心率。

\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

比較分母。

提示 2

焦距平方為其正差。

完整解答

長半軸沿x，長5；短半軸長3。
$c^2=25-9=16$
定位對稱焦點，並以c除以a。
$F=(\pm4,0),\ e=4/5$

水平長軸；焦點(±4,0)；e=4/5。

檢查與易錯點：分母是半軸平方，不是全軸長。

推理清單・自評／教師評核

水平長軸；焦點(±4,0)；e=4/5。
分母是半軸平方，不是全軸長。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

橢圓焦點為(±3,0)，到兩焦點的距離和為10。求方程。

已提供首步，請接續推理：讀出a=5、c=3。

b^2=25-9=16

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

距離和等於2a。

提示 2

用b²=a²−c²。

完整解答

讀出a=5、c=3。
$b^2=25-9=16$
使用水平長軸形式。
$x^2/25+y^2/16=1$

x²/25+y²/16=1。

檢查與易錯點：取a=10會令距離和加倍。

推理清單・自評／教師評核

x²/25+y²/16=1。
取a=10會令距離和加倍。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

求橢圓上一點到右焦點的最大距離。

x^2/25+y^2/9=1

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

最遠頂點在長軸另一端。

提示 2

使用焦距關係r=a−ex。

完整解答

此處a=5、c=4，且−5≤x≤5。
$r=5-4x/5$
最小x給最大r。
$r_{\max}=5+4=9$

最大9，在(−5,0)取得。

檢查與易錯點：焦距和10不等於任一單獨焦距。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求中心至焦點距離c。

x^2/16+y^2/7=1

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把半軸平方相減。

提示 2

c為正。

完整解答

用橢圓關係。
$c^2=16-7=9$
取正平方根。
$c=3$

c=3。

檢查與易錯點：相加關係屬雙曲線。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求垂直橢圓的焦點。

x^2/9+y^2/25=1

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

較大分母在y²下。

提示 2

把c放在垂直軸。

完整解答

求c²。
$c^2=25-9=16$
把焦點置於原點兩側。
$F_1=(0,-4),\ F_2=(0,4)$

(0,±4)。

檢查與易錯點：x不會自動代表長軸方向。

推理清單・自評／教師評核

(0,±4)。
x不會自動代表長軸方向。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求到兩焦點距離之和的常數。

x^2/36+y^2/20=1

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

讀出長半軸。

提示 2

定義距離和為其兩倍。

完整解答

長半軸為√36。
$a=6$
用焦點定義。
$r_1+r_2=2a=12$

12。

檢查與易錯點：距離和不隨橢圓上的點而變。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

點(3,y)在橢圓上，求y²。

x^2/25+y^2/16=1

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

代入x=3。

提示 2

選符號前先求y²。

完整解答

整理剩下的分數。
$y^2/16=1-9/25=16/25$
乘以分母。
$y^2=256/25$

y²=256/25。

檢查與易錯點：y可有兩個符號，但平方唯一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

哪些k使軌跡為非圓且非退化的橢圓？

x^2/9+y^2/k=1

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

兩分母須為正。

提示 2

分母相等得到圓。

完整解答

排除零及負k。
$k>0$
排除圓，但容許兩種長軸方向。
$k\ne9$

k>0且k≠9。

檢查與易錯點：k>9亦為橢圓，只是長軸垂直。

推理清單・自評／教師評核

k>0且k≠9。
k>9亦為橢圓，只是長軸垂直。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求離心率。

x^2/100+y^2/36=1

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先求c，再相除。

提示 2

用c/a，不是b/a。

完整解答

求焦距。
$c=\sqrt{100-36}=8$
除以長半軸。
$e=8/10=4/5$

e=4/5。

檢查與易錯點：非圓橢圓滿足0<e<1。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求中心、長軸頂點及焦點。

(x-2)^2/16+(y+1)^2/7=1

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先辨認平移中心，再讀參數。

提示 2

焦距為3。

完整解答

中心(2,−1)，a=4。
$V=(2\pm4,-1)$
一致平移兩焦點。
$F=(2\pm3,-1)$

中心(2,−1)；長軸頂點(−2,−1)、(6,−1)；焦點(−1,−1)、(5,−1)。

檢查與易錯點：y+1表示中心的y=−1。

推理清單・自評／教師評核

中心(2,−1)；長軸頂點(−2,−1)、(6,−1)；焦點(−1,−1)、(5,−1)。
y+1表示中心的y=−1。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

焦點為(−3,0)、(3,0)，焦距和為6。軌跡是非退化橢圓嗎？描述它。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

距離和等於兩焦點間距。

提示 2

使用三角不等式的等號情況。

完整解答

等號迫使點位於連焦點線段上。
$r_1+r_2=|F_1F_2|$
該閉線段上每點均有指定距離和。

閉線段−3≤x≤3、y=0，不是非退化橢圓。

檢查與易錯點：真正橢圓要求距離和嚴格大於焦點間距。

推理清單・自評／教師評核

閉線段−3≤x≤3、y=0，不是非退化橢圓。
真正橢圓要求距離和嚴格大於焦點間距。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求橢圓上3x+4y的最大值，並給出取等點。

x^2/4+y^2/9=1

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

令x=2u、y=3v，則u²+v²=1。

提示 2

在伸縮坐標中使用數量積上界。

完整解答

設u＝x/2、v＝y/3，則u²＋v²＝1；目標變成與(6,12)的數量積。
$3x+4y=6u+12v\le\sqrt{180}=6\sqrt5$
等號要求單位方向相同。
$(u,v)=(1/\sqrt5,2/\sqrt5)$

最大6√5，在(2/√5,6/√5)取得。

檢查與易錯點：分別取3x及4y最大值，會得到不可達到的角點。

推理清單・自評／教師評核

最大6√5，在(2/√5,6/√5)取得。
分別取3x及4y最大值，會得到不可達到的角點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

P到(±3,0)的距離和為10，且在x=0的上半平面。求P，再解釋把距離和改為5為何軌跡為空。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

x=0時兩距離相等。

提示 2

比較距離和5與焦點間距6。

完整解答

每距離為5，因此y²+9=25。
$P=(0,4)$
兩焦距和至少等於焦點間距。
$r_1+r_2\ge6>5$

P=(0,4)；距離和5的軌跡為空。

檢查與易錯點：寫出貌似標準方程，不保證幾何軌跡可行。

推理清單・自評／教師評核

P=(0,4)；距離和5的軌跡為空。
寫出貌似標準方程，不保證幾何軌跡可行。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	預測與診斷	預測繩與釘的邊界情況。
8	概念推導	由軸上頂點推導a、b、c關係。
10	引導應用	閱讀水平、垂直及平移方程。
12	遷移與解釋	解縮放最值及不可能軌跡判斷題。
5	離堂證據	完成焦距和分類離堂題。

提問順序

繩長恰等於兩釘距離時會怎樣？
哪個方向的截距最大？

板書發展

分三行比較距離和小於、等於及大於焦點距離。
先縮放x＝2U、y＝3V，再估計3x＋4y。

預期正誤回答

學生總把焦點放x軸；請先標較大截距。
正確作答：「較大分母在y²之下，所以焦點在y軸。」
錯誤作答：「分母25表示半軸長25。」

追問

求得上界後，為何仍要檢查等號能否達到？

補救

先把半軸畫成實際長度，再計算c²。

離堂檢核

對焦點(±3,0)，分類距離和5、6及10的軌跡。

評核清單與作答示例

評核軸方向、正長度條件及可達等號。示例：U²＋V²＝1時，6U＋12V≤√180，等號決定最大值點。
正確作答：「較大分母在y²之下，所以焦點在y軸。」