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學習・解釋・訂正

求橢圓上3x+4y的最大值，並給出取等點。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高二選擇性必修第一册(A版).pdf · 3.1 · PDF 110 / 印刷頁 105

專題 01

橢圓：定義、軸與限制

由距離和建立橢圓，辨認長軸方向，分辨真正橢圓與邊界軌跡。

學完之後，你能解釋

連結焦點定義與a²＝b²＋c²。
閱讀平移及直長軸橢圓，不混淆分母與長度。
用縮放求線性量最值，並檢查軌跡可行性。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 遷移#獨立練習

求橢圓上3x+4y的最大值，並給出取等點。

x^2/4+y^2/9=1

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

令x=2u、y=3v，則u²+v²=1。

提示 2

在伸縮坐標中使用數量積上界。

完整解答

設u＝x/2、v＝y/3，則u²＋v²＝1；目標變成與(6,12)的數量積。
$3x+4y=6u+12v\le\sqrt{180}=6\sqrt5$
等號要求單位方向相同。
$(u,v)=(1/\sqrt5,2/\sqrt5)$

最大6√5，在(2/√5,6/√5)取得。

檢查與易錯點：分別取3x及4y最大值，會得到不可達到的角點。

推理清單・自評／教師評核

最大6√5，在(2/√5,6/√5)取得。
分別取3x及4y最大值，會得到不可達到的角點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	預測與診斷	預測繩與釘的邊界情況。
8	概念推導	由軸上頂點推導a、b、c關係。
10	引導應用	閱讀水平、垂直及平移方程。
12	遷移與解釋	解縮放最值及不可能軌跡判斷題。
5	離堂證據	完成焦距和分類離堂題。

提問順序

繩長恰等於兩釘距離時會怎樣？
哪個方向的截距最大？

板書發展

分三行比較距離和小於、等於及大於焦點距離。
先縮放x＝2U、y＝3V，再估計3x＋4y。

預期正誤回答

學生總把焦點放x軸；請先標較大截距。
正確作答：「較大分母在y²之下，所以焦點在y軸。」
錯誤作答：「分母25表示半軸長25。」

追問

求得上界後，為何仍要檢查等號能否達到？

補救

先把半軸畫成實際長度，再計算c²。

離堂檢核

對焦點(±3,0)，分類距離和5、6及10的軌跡。

評核清單與作答示例

評核軸方向、正長度條件及可達等號。示例：U²＋V²＝1時，6U＋12V≤√180，等號決定最大值點。
正確作答：「較大分母在y²之下，所以焦點在y軸。」