雙曲線：分支與漸近線

1. 讀出a=3、b=4、c=5。

   $$c^2=9+16=25$$

2. 把頂點、焦點置於x軸，再令齊次二次式為零。

   $$V=(\pm3,0),\ F=(\pm5,0),\ y=\pm4x/3$$

頂點(±3,0)、焦點(±5,0)、漸近線y=±4x/3。

檢查與易錯點：漸近線經中心，不是焦點。

1. 用a=3、c=5。

   $$b^2=25-9=16$$

2. 距離差取絕對值，故保留兩支。

   $$x^2/9-y^2/16=1$$

x²/9−y²/16=1。

檢查與易錯點：有符號距離差會只選一支。

1. 二次項抵消，只剩一根。

   $$x^2-(x+1)^2=1\Rightarrow x=-1,\quad y=0$$

2. (−1,0)的切線垂直，而y=x+1並非垂直線。

   $$x=-1$$

不是切線；它平行於一條漸近線。

檢查與易錯點：消元方程降為一次時，一個交點不代表相切。

1. 用c²=a²+b²。

   $$c^2=16+9=25$$

2. 轉成距離。

   $$c=5$$

c=5。

檢查與易錯點：相減會誤用橢圓關係。

1. 求c/a。

   $$e=\sqrt{9+16}/3$$

2. 化簡。

   $$e=5/3$$

e=5/3。

檢查與易錯點：雙曲線e>1，因此3/5不正確。

1. 頂點的x=0。

   $$V=(0,\pm2)$$

2. 解齊次方程。

   $$y^2/4=x^2/9\Rightarrow y=\pm2x/3$$

頂點(0,±2)；漸近線y=±2x/3。

檢查與易錯點：不可只因字母改變便任意倒轉斜率比。

1. 代入x=5。

   $$y^2/16=25/9-1=16/9$$

2. 乘16。

   $$y^2=256/9$$

y²=256/9。

檢查與易錯點：有兩個y值；兩者均仍在x>0分支。

1. 整理並限制x²。

   $$x^2/9=1+y^2/16\ge1$$

2. 所得兩射線中的每個x均給實數y。

   $$x\le-3\text{ or }x\ge3$$

(−∞,−3]∪[3,∞)。

檢查與易錯點：−3≤x≤3描述的是被排除的中央區域。

1. 兩平方項相等。

   $$x^2/9-(4x/3)^2/16=0$$

2. 方程將要求0=1。

沒有有限交點。

檢查與易錯點：漸近線在無窮遠被趨近，不屬曲線本身。

1. 使用垂直斜率條件。

   $$-b^2/9=-1$$

2. 取正參數。

   $$b=3$$

b=3。

檢查與易錯點：負根不能代表正半軸參數。

1. (3,0)到兩焦點距離為8及2。

   $$PF_1-PF_2=6$$

2. 右支到左焦點較遠。

   $$x\ge3$$

右支，x≥3。

檢查與易錯點：只有絕對值方程會包含兩支。

1. 把b²=4a²代入點的方程。

   $$2/a^2-4/(4a^2)=1$$

2. 還原兩參數。

   $$a^2=1,\ b^2=4$$

x²−y²/4=1。

檢查與易錯點：漸近線決定形狀，但不決定大小；還需要一點。

1. 零差給垂直平分線；中間正差給雙曲線。

   $$d=0:x=0;\ d=6:x^2/9-y^2/16=1$$

2. 最大差出現在焦點外側射線；更大的差不可能。

   $$d=10:y=0,|x|\ge5;\ d=12:\varnothing$$

依次為直線、非退化雙曲線、兩外側射線、空集。

檢查與易錯點：非退化雙曲線的定義常數須滿足0<d<10。