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學習・解釋・訂正

求頂點、焦點及漸近線。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高二選擇性必修第一册(A版).pdf · 3.2 · PDF 123 / 印刷頁 118

先重溫：橢圓：定義、軸與限制

專題 01

雙曲線：分支與漸近線

分清有符號及絕對焦距差；直線平行漸近線時檢查方程降次。

學完之後，你能解釋

由焦距差連結c²＝a²＋b²。
辨認兩種方向的分支、頂點及漸近線。
分類焦距差邊界情況及單交點直線。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 基礎#示範例題

求頂點、焦點及漸近線。

x^2/9-y^2/16=1

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

正項決定實軸方向。

提示 2

雙曲線的c²為平方和。

完整解答

讀出a=3、b=4、c=5。
$c^2=9+16=25$
把頂點、焦點置於x軸，再令齊次二次式為零。
$V=(\pm3,0),\ F=(\pm5,0),\ y=\pm4x/3$

頂點(±3,0)、焦點(±5,0)、漸近線y=±4x/3。

檢查與易錯點：漸近線經中心，不是焦點。

推理清單・自評／教師評核

頂點(±3,0)、焦點(±5,0)、漸近線y=±4x/3。
漸近線經中心，不是焦點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	預測與診斷	在兩頂點判斷焦距差符號。
8	概念推導	推導並畫水平及垂直方向的漸近線。
10	引導應用	計算曲線點並檢查漸近線是否相交。
12	遷移與解釋	分類平移直線及焦距差的邊界情況。
5	離堂證據	解釋單交點為何不足以證明相切。

提問順序

右支上哪一焦點較遠？
直線能否只有一交點卻不相切？

板書發展

列表比較絕對差0、介乎0與2c、等於2c及大於2c。
先代入y＝x＋k，然後才考慮判別式。

預期正誤回答

二次項消失後學生仍令判別式零；先圈出實際首項係數。
正確作答：「二次係數相消，所以一交點不一定是相切。」
錯誤作答：「直線只有一交點就一定相切。」

追問

平行線截距趨近零時，唯一交點如何移動？

補救

用頂點判定哪個有符號焦距差為正。

離堂檢核

寫一條只有一交點但不相切的直線，解釋方程降次。

評核清單與作答示例

要求分支符號、標準式參數及獨立的相切理由。示例：代入y＝x＋1得−2x−1＝1，故x＝−1；此一次式本身不能推出相切。
正確作答：「二次係數相消，所以一交點不一定是相切。」