以原點為中心的水平雙曲線，漸近線y=±2x，且過(√2,2)，求方程。
考點與先備課節
範圍：JM01 / JM02
最近作答（最多五次）
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
斜率給b=2a。
提示 2
已知點決定剩下的大小。
完整解答
把b²=4a²代入點的方程。
還原兩參數。
x²−y²/4=1。
檢查與易錯點：漸近線決定形狀，但不決定大小；還需要一點。
推理清單・自評／教師評核
- x²−y²/4=1。
- 漸近線決定形狀，但不決定大小；還需要一點。
先思考，待同學準備好再展開提示。
學習・解釋・訂正
以原點為中心的水平雙曲線，漸近線y=±2x，且過(√2,2)，求方程。
先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。
專題 01
雙曲線：分支與漸近線
分清有符號及絕對焦距差；直線平行漸近線時檢查方程降次。
學完之後，你能解釋
- 由焦距差連結c²＝a²＋b²。
- 辨認兩種方向的分支、頂點及漸近線。
- 分類焦距差邊界情況及單交點直線。
試一試，把思路寫下來。
每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。
例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。
教師備課與評核
40 分鐘教案
| 分鐘 | 環節 | 教師及學生任務 |
|---|---|---|
| 5 | 預測與診斷 | 在兩頂點判斷焦距差符號。 |
| 8 | 概念推導 | 推導並畫水平及垂直方向的漸近線。 |
| 10 | 引導應用 | 計算曲線點並檢查漸近線是否相交。 |
| 12 | 遷移與解釋 | 分類平移直線及焦距差的邊界情況。 |
| 5 | 離堂證據 | 解釋單交點為何不足以證明相切。 |
提問順序
- 右支上哪一焦點較遠？
- 直線能否只有一交點卻不相切？
板書發展
- 列表比較絕對差0、介乎0與2c、等於2c及大於2c。
- 先代入y＝x＋k，然後才考慮判別式。
預期正誤回答
- 二次項消失後學生仍令判別式零；先圈出實際首項係數。
- 正確作答：「二次係數相消，所以一交點不一定是相切。」
- 錯誤作答：「直線只有一交點就一定相切。」
追問
- 平行線截距趨近零時，唯一交點如何移動？
補救
- 用頂點判定哪個有符號焦距差為正。
離堂檢核
- 寫一條只有一交點但不相切的直線，解釋方程降次。
評核清單與作答示例
- 要求分支符號、標準式參數及獨立的相切理由。示例：代入y＝x＋1得−2x−1＝1，故x＝−1；此一次式本身不能推出相切。
正確作答：「二次係數相消，所以一交點不一定是相切。」