學習・解釋・訂正

拋物線：焦點與準線

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修第一册(A版).pdf · 3.3 · PDF 135 / 印刷頁 130

專題 01

拋物線：焦點與準線

由等距推導拋物線，追蹤平移後方向，並用定義處理距離最值。

學完之後，你能解釋

互換y²＝4ax與焦點、準線。
推導平移方程時保留點到直線的絕對距離。
檢查焦距不等式的等號可達性。

等距產生二次關係

曲線上利用定義，往往可把根式距離換成簡單線性量。

與(a,0)及x＝−a等距的點，在a≠0時滿足y²＝4ax；a的符號決定開口方向。

\sqrt{(x-a)^2+y^2}=|x+a|\quad\Longrightarrow\quad y^2=4ax

把兩個非負距離平方。
$(x-a)^2+y^2=(x+a)^2$
相消x²及a²，保留4ax的符號。
$y^2=4ax$

成立條件

非退化拋物線的焦參數非零。
頂點不是半周旋轉的對稱中心。

反例：對y²＝8x，(2,4)在曲線上，但繞頂點半周旋轉後的(−2,−4)不在曲線上。

焦點準線圖↔等距方程↔平移標準式。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：預測a變號時曲線在頂點哪一側。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

取樣點到焦點及準線距離相等。a＝0時方程化為y²＝0，是退化直線。

圖像的數值資料，可列印
量	數值
focus / 焦點	1, 0
directrix x / 準線x坐標	-1
PF	2
distance to directrix / 到準線距離	2

解釋：模型在同一取樣點計算焦距及準線距離；a＝0時顯示退化直線。

遷移：固定a而平移頂點，解釋哪些距離不變。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 基礎#示範例題

求頂點、焦點及準線。

y^2=12x

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

與y²=4ax比較。

提示 2

焦點及準線與頂點等距。

完整解答

讀出4a=12。
$a=3$
把焦點置於開口軸上。
$V=(0,0),\ F=(3,0),\ d:x=-3$

頂點(0,0)、焦點(3,0)、準線x=−3。

檢查與易錯點：係數12是焦距的四倍。

推理清單・自評／教師評核

頂點(0,0)、焦點(3,0)、準線x=−3。
係數12是焦距的四倍。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

推導到焦點(2,0)與準線x=−2等距的軌跡。

已提供首步，請接續推理：令距離平方相等。

(x-2)^2+y^2=(x+2)^2

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

到直線距離為|x+2|。

提示 2

平方前兩距離均非負。

完整解答

令距離平方相等。
$(x-2)^2+y^2=(x+2)^2$
約去相同項，並檢查x≥0由方程推出。
$y^2=8x$

y²=8x。

檢查與易錯點：不解釋非負性便使用有符號x+2，可能隱藏無效距離解釋。

推理清單・自評／教師評核

y²=8x。
不解釋非負性便使用有符號x+2，可能隱藏無效距離解釋。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

求y²=8x上最接近焦點的點及距離。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

焦距等於到準線距離。

提示 2

曲線要求x≥0。

完整解答

焦點(2,0)、準線x=−2。
$PF=x+2$
把拋物線上的x最小化。
$x=0,\quad y=0,\ PF=2$

頂點(0,0)處距離為2。

檢查與易錯點：焦點不在拋物線上。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求焦點的y坐標。

x^2=20y

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

對稱軸垂直。

提示 2

讀出4a=20。

完整解答

把係數轉成焦距。
$a=20/4=5$
焦點位於開口方向。
$F=(0,5)$

焦點y坐標5。

檢查與易錯點：交換x、y亦須交換焦點坐標。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求焦點及準線。

y^2=-8x

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

參數a為負。

提示 2

定位焦點時保留符號。

完整解答

讀出a=−2。
$4a=-8$
拋物線向左開口。
$F=(-2,0),\ d:x=2$

焦點(−2,0)、準線x=2。

檢查與易錯點：開口係數為負仍有效，並非空軌跡。

推理清單・自評／教師評核

焦點(−2,0)、準線x=2。
開口係數為負仍有效，並非空軌跡。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

點(x,4)在y²=8x上，求x。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

代入y坐標。

提示 2

把其平方除以8。

完整解答

把y=4平方。
$16=8x$
解一次方程。
$x=2$

x=2。

檢查與易錯點：直接用y=4而非y²會得錯誤結果。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求過焦點且垂直對稱軸的弦長。

y^2=8x

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

焦點的x=2。

提示 2

求兩個y坐標。

完整解答

代入x=2。
$y^2=16\Rightarrow y=\pm4$
把端點坐標相減。
$L=4-(-4)=8$

弦長8。

檢查與易錯點：單一縱坐標4只是弦的一半。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求頂點、焦點、準線及開口方向。

(y-1)^2=8(x+2)

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用平移坐標X=x+2、Y=y−1。

提示 2

同時把焦點及準線平移回去。

完整解答

平移坐標中a=2。
$V=(-2,1),\ F=V+(2,0)=(0,1)$
準線在頂點左方兩單位。
$d:x=-4$

頂點(−2,1)、焦點(0,1)、準線x=−4；向右開口。

檢查與易錯點：不能只把方程係數的x坐標平移便求焦點。

推理清單・自評／教師評核

頂點(−2,1)、焦點(0,1)、準線x=−4；向右開口。
不能只把方程係數的x坐標平移便求焦點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

解釋y²=8x的頂點為何不是對稱中心。

P=(2,4)

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把所示點繞原點旋轉180°。

提示 2

把像點代入方程。

完整解答

像點為(−2,−4)。
$(-4)^2=16\ne8(-2)$
對稱中心須令每點旋轉後仍在曲線上。

原點是頂點，不是對稱中心。

檢查與易錯點：關於x軸反射，與半周旋轉是不同對稱。

推理清單・自評／教師評核

原點是頂點，不是對稱中心。
關於x軸反射，與半周旋轉是不同對稱。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

y²=8x上一點的x=6，求它到焦點的距離。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用焦點準線定義。

提示 2

準線為x=−2。

完整解答

計算到準線的水平距離。
$PF=|6-(-2)|$
兩個y值共用此距離。
$PF=8$

距離8。

檢查與易錯點：不必選擇y的符號。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

a=0時，分類y²=4ax並解釋焦點準線解釋的問題。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

明確代入參數零。

提示 2

焦點會落在準線上。

完整解答

方程成為重直線。
$y^2=0\Rightarrow y=0$
非退化拋物線要求焦點不在準線上；a＝0時焦點卻在準線上。

退化圓錐曲線x軸；不是非退化拋物線。

檢查與易錯點：除以a前，須先處理係數零。

推理清單・自評／教師評核

退化圓錐曲線x軸；不是非退化拋物線。
除以a前，須先處理係數零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

拋物線焦點(1,3)、準線y=−1，推導其方程及頂點。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

對稱軸過焦點並垂直準線。

提示 2

頂點平分焦點至準線的垂直距離。

完整解答

頂點(1,1)，a=2且向上。
$(x-1)^2=8(y-1)$
用距離平方直接核對。
$(x-1)^2+(y-3)^2=(y+1)^2$

頂點(1,1)；(x−1)²=8(y−1)。

檢查與易錯點：焦點至準線的間距是2a，不是a。

推理清單・自評／教師評核

頂點(1,1)；(x−1)²=8(y−1)。
焦點至準線的間距是2a，不是a。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

P在y²=8x上，F=(2,0)、Q=(8,0)。求PF+PQ最小值，列出全部取等條件。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把PF換成x+2。

提示 2

用PQ≥|x−8|，再檢查曲線上的等號。

完整解答

x≥0時，x+2+|x−8|≥10。
$PF+PQ\ge x+2+|x-8|\ge10$
距離下界取等須y=0；拋物線再要求x=0。
$P=(0,0),\ PF+PQ=2+8=10$

最小10，只在頂點取得。

檢查與易錯點：標量下界在0≤x≤8恆定，但曲線上並非每個此類x都取等。

推理清單・自評／教師評核

最小10，只在頂點取得。
標量下界在0≤x≤8恆定，但曲線上並非每個此類x都取等。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	預測與診斷	診斷焦點參數的四倍錯誤。
8	概念推導	包括絕對距離地推導焦點準線方程。
10	引導應用	閱讀轉向及平移拋物線及其焦弦。
12	遷移與解釋	解距離最值並分析等號集合。
5	離堂證據	辨認a＝0的邊界軌跡。

提問順序

到x＝−a的距離為何須寫絕對值？
焦點在頂點左方時，甚麼改變？

板書發展

在同一圖標頂點、焦點、準線及焦弦。
距離最值題另用一行檢查等號。

預期正誤回答

學生把8除二而非除四定位焦點；請用定義幾何核查。
正確作答：「4a＝8，所以焦點是(2,0)，準線x＝−2。」
錯誤作答：「方程有8x，所以焦點是(8,0)。」

追問

a＝0時剩甚麼集合？為何排除於非退化定義？

補救

展開平方前，先比較頂點到焦點及到準線的距離。

離堂檢核

對y²＝−8x，寫出含正負號的焦點及準線。

評核清單與作答示例

評核參數理解、合法平方及等號可達性。示例：y²＝8x上PF＝x＋2；所求下界只在頂點達到。
正確作答：「4a＝8，所以焦點是(2,0)，準線x＝−2。」