Kenneth Cheng數學・模型・思考
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學習・解釋・訂正

由有限袋不放回抽兩次，哪個精確計數模型適用？

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高三選擇性必修 第三册(A版).pdf · 7.4 · PDF 77 / 印刷頁 72

先重溫：條件、分割與後驗概率分佈期望、方差與相依

專題 01

選擇二項、超幾何與正態模型

先按假設及可能值選模型，再計概率或數字特徵。

學完之後，你能解釋

  • 先按假設及可能值選模型，再計概率或數字特徵。
  • 處理抽取全體及確定性邊界，標準化連續正態變量。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#獨立練習

由有限袋不放回抽兩次，哪個精確計數模型適用？

  • 除明列放回比較模型外，從剩餘有限袋中等可能且不放回抽取。
考點與先備課節

範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。

  1. 不檢查條件便用二項
  2. 超幾何
  3. 精確正態
  4. 各數目必定均勻
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
追蹤有限母體的不放回抽樣。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
P(X=k)=(Kk)(N−Kn−k)/(Nn)P(X=k)=\binom Kk\binom{N-K}{n-k}/\binom Nn
完整解答
  1. 追蹤有限母體的不放回抽樣。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    P(X=k)=(Kk)(N−Kn−k)/(Nn)P(X=k)=\binom Kk\binom{N-K}{n-k}/\binom Nn
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    max⁡(0,n−N+K)≤k≤min⁡(n,K)\max(0,n-N+K)\le k\le\min(n,K)
  4. 每個樣本等可能不表示各成功數等可能。
超幾何
檢查與易錯點：每個樣本等可能不表示各成功數等可能。
先思考，待同學準備好再展開提示。
專注一道題目
教師備課與評核
40 分鐘教案
分鐘環節教師及學生任務
5預測預測紅球較多的有限袋，放回是否增加兩紅概率。
8建立概念示例回答：不放回時，抽紅後成功比例下降。
10引導比較示例回答：放回 9/25、不放回 3/10，可列舉二球組合核對。
12獨立練習與討論按假設分類情境，並用整數檢查可靠度題。
5課末檢核與下一步課末：全抽六個物件且其中兩紅時，X 必為 2，方差為零。
提問順序
  • 預測紅球較多的有限袋，放回是否增加兩紅概率。
  • 示例回答：放回 9/25、不放回 3/10，可列舉二球組合核對。
板書發展
  • 機制決定模型
    P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}
預期正誤回答
  • 正確示例：超幾何
  • 預期錯答：不檢查條件便用二項；只因試驗次數固定便認為可用二項模型。
  • 預期錯答：9；把正態方差參數當成標準差。
  • 只因次數固定便選二項。
  • 把正態方差當成標準差。
追問
  • 追問：追蹤有限母體的不放回抽樣。 再解釋 不檢查條件便用二項 為何不成立。
  • 追問：第二參數讀作方差。 再解釋 9 為何不成立。
  • 令 n=N，解釋不放回時為何只可能有 K 次成功。
補救
  • 示例回答：不放回時，抽紅後成功比例下降。
  • 返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。
離堂檢核
  • 課末：全抽六個物件且其中兩紅時，X 必為 2，方差為零。
評核清單與作答示例
  • 表示法及條件
    不放回使下次成功比例改變，所以有限計數使用超幾何。
  • 連貫數學推理
    五件中三紅，兩紅概率為 (3/5)(2/4)=3/10。
  • 解釋及邊界檢查
    全抽有兩紅的袋時 X 必為 2，方差為零。
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教材與來源說明 ↗