Kenneth Cheng數學・模型・思考
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學習・解釋・訂正

微積分・八題短檢核

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

專題 01

微積分

每技能獨立嘗試兩題，再返回對應技能補救。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#獨立練習

y=x² 在 x=3 的切線斜率是多少？

y=x2; a=3y=x^2;\ a=3
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節

範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。

  1. 9
  2. 6
  3. 3
  4. 0
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先求導數，再代入。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′(x)=2xf'(x)=2x
完整解答
  1. 先求導數，再代入。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(x)=2xf'(x)=2x
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(3)=6f'(3)=6
  4. 高度為 9，但斜率為 6。
6
檢查與易錯點：高度為 9，但斜率為 6。
先思考，待同學準備好再展開提示。
02 / 基礎#獨立練習
關於 |x| 在零，哪項正確？
f(x)=∣x∣f(x)=|x|
  • 導數須左右有限極限相同，極值本身不要求可微。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
  1. 導數為 0。
  2. 導數為 1。
  3. 連續但不可微。
  4. 不連續。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
比較左右差商。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
lim⁡h→0−∣h∣/h=−1\lim_{h\to0^-}|h|/h=-1
完整解答
  1. 比較左右差商。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    lim⁡h→0−∣h∣/h=−1\lim_{h\to0^-}|h|/h=-1
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    lim⁡h→0+∣h∣/h=1\lim_{h\to0^+}|h|/h=1
  4. 尖角與跳躍不同。
連續但不可微。
檢查與易錯點：尖角與跳躍不同。
先思考，待同學準備好再展開提示。
03 / 基礎#獨立練習
f=(3x+1)²，求 f′(0)。
f=(3x+1)2f=(3x+1)^2
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
  1. 2
  2. 3
  3. 9
  4. 6
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
保留外層及內層導數。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=6(3x+1)f'=6(3x+1)
完整解答
  1. 保留外層及內層導數。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=6(3x+1)f'=6(3x+1)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(0)=6f'(0)=6
  4. 內層因子為 3。
6
檢查與易錯點：內層因子為 3。
先思考，待同學準備好再展開提示。
04 / 基礎#獨立練習
求 x²·x³ 的導數。
f=x2x3f=x^2x^3
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
  1. 6x³
  2. 5x⁴
  3. x⁵
  4. 5x⁵
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先合併次方，再求導。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f=x5f=x^5
完整解答
  1. 先合併次方，再求導。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f=x5f=x^5
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=5x4f'=5x^4
  4. 把 2x 及 3x² 相乘是錯誤法則。
5x⁴
檢查與易錯點：把 2x 及 3x² 相乘是錯誤法則。
先思考，待同學準備好再展開提示。
05 / 基礎#獨立練習
x³ 在零有甚麼行為？
f=x3f=x^3
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
  1. 局部極小
  2. 局部極大
  3. 駐點但無極值
  4. 導數不存在
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
比較兩側導數符號。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=3x2f'=3x^2
完整解答
  1. 比較兩側導數符號。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=3x2f'=3x^2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    signs: +,+\text{signs: }+,+
  4. 導數為零不是極值的充分判別。
駐點但無極值
檢查與易錯點：導數為零不是極值的充分判別。
先思考，待同學準備好再展開提示。
06 / 基礎#獨立練習
求 x² 在 [−1,2] 的最大值。
f=x2; −1≤x≤2f=x^2;\ -1\le x\le2
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 4
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
比較兩端點及駐點。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f(−1)=1; f(0)=0; f(2)=4f(-1)=1;\ f(0)=0;\ f(2)=4
完整解答
  1. 比較兩端點及駐點。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f(−1)=1; f(0)=0; f(2)=4f(-1)=1;\ f(0)=0;\ f(2)=4
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    max⁡f=4\max f=4
  4. 取得極值的橫坐標不是所求函數值。
4
檢查與易錯點：取得極值的橫坐標不是所求函數值。
先思考，待同學準備好再展開提示。
07 / 基礎#獨立練習
哪個多項式在零有拐點？
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
  1. x²
  2. x⁴
  3. x³
  4. x⁶
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
檢查二階導數符號。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
(x3)′′=6x(x^3)''=6x
完整解答
  1. 檢查二階導數符號。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    (x3)′′=6x(x^3)''=6x
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    (x4)′′=12x2(x^4)''=12x^2
  4. 二階導數為零只提供候選點。
x³
檢查與易錯點：二階導數為零只提供候選點。
先思考，待同學準備好再展開提示。
08 / 基礎#獨立練習
x³+x 的拐點切線斜率是多少？
f=x3+xf=x^3+x
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
  1. 1
  2. 0
  3. 3
  4. 未定義
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
用 f″ 定位，再用 f′ 求斜率。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′′=6x  ⟹  x=0f''=6x\implies x=0
完整解答
  1. 用 f″ 定位，再用 f′ 求斜率。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′′=6x  ⟹  x=0f''=6x\implies x=0
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(0)=1f'(0)=1
  4. 拐點斜率不必為零。
1
檢查與易錯點：拐點斜率不必為零。
先思考，待同學準備好再展開提示。
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