Kenneth Cheng數學・模型・思考
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單調性與受限極值

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修 第二册(A版).pdf · 5.3 · PDF 89 / 印刷頁 84

先重溫：求導法則與定義域

專題 01

單調性與受限極值

用導數變號、端點及可行定義域區分局部極值及全域最佳值。

學完之後，你能解釋

  • 用導數變號、端點及可行定義域區分局部極值及全域最佳值。
  • 處理參數邊界及不能取得的界。

候選點須分類

最佳化是在容許集合中比較，不只是解方程。

導數根提供候選點，附近符號才說明方向是否反轉。

f′<0→f′>0: local minimumf'<0\to f'>0:\ \text{local minimum}

  1. 導數根提供候選點，附近符號才說明方向是否反轉。

    f=x3−kx; f′=3x2−kf=x^3-kx;\ f'=3x^2-k

  2. 導數根提供候選點，附近符號才說明方向是否反轉。

    k>0: x=±k/3; signs +,−,+k>0:\ x=\pm\sqrt{k/3};\ \text{signs }+,-,+

成立條件

  • 閉區間須比較兩端點，開域的界未必可取得。

反例：x³ 在零導數為零但仍遞增，|x| 在尖角取得最小值。

  • 符號表、圖像、端點值表及可行集合不等式。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：預測 k<0、k=0、k>0 的 x³−kx 駐點。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

有兩個局部極值，但區間最佳值只由域內候選點及端點決定。-3-46-1.5-23001.523346xf=x³−kx; stationary 駐點 綠/green; endpoints 端點 橙/orange

有兩個局部極值，但區間最佳值只由域內候選點及端點決定。

圖像的數值資料，可列印
候選自變量函數值角色
-2-2Endpoint / 端點
-12Local maximum / 局部極大
1-2Endpoint / 端點

解釋：比較函數及導數 3x²−k，檢查根兩側符號。

遷移：改變顯示區間，說明全域最佳值為何也須比較端點。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 基礎#示範例題

找出並分類 x³−3x 的駐點。

f=x3−3xf=x^3-3x
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節

範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。

計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
用相鄰區間的導數符號分類。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=3(x−1)(x+1)f'=3(x-1)(x+1)
完整解答
  1. 用相鄰區間的導數符號分類。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=3(x−1)(x+1)f'=3(x-1)(x+1)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    signs: +,−,+; f(−1)=2; f(1)=−2\text{signs: }+,-,+;\ f(-1)=2;\ f(1)=-2
  4. 兩個根都須檢查符號轉變。
局部極大點 (−1,2)，局部極小點 (1,−2)。
檢查與易錯點：兩個根都須檢查符號轉變。
推理清單・自評／教師評核
  • 用相鄰區間的導數符號分類。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 兩個根都須檢查符號轉變。
先思考，待同學準備好再展開提示。
02 / 鞏固#示範例題
求 x³−3x 在 [−2,1] 的全域最大值。
f=x3−3x; −2≤x≤1f=x^3-3x;\ -2\le x\le1
已提供首步，請接續推理：比較端點及內部駐點函數值。
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
比較端點及內部駐點函數值。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f(−2)=−2; f(−1)=2; f(1)=−2f(-2)=-2;\ f(-1)=2;\ f(1)=-2
完整解答
  1. 比較端點及內部駐點函數值。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f(−2)=−2; f(−1)=2; f(1)=−2f(-2)=-2;\ f(-1)=2;\ f(1)=-2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    max⁡f=2\max f=2
  4. 只看駐點不足以判斷閉區間最大值。
所求值為 2。
檢查與易錯點：只看駐點不足以判斷閉區間最大值。
先思考，待同學準備好再展開提示。
03 / 遷移#示範例題
長方形周長為 20，求最大面積並說明可行定義域。
2x+2y=20; x,y>02x+2y=20;\ x,y>0
  • 長方形兩邊均為正，退化端點被排除。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
消去一個邊長，只在正邊長範圍內最佳化。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
A=x(10−x); 0<x<10; A′=10−2xA=x(10-x);\ 0<x<10;\ A'=10-2x
完整解答
  1. 消去一個邊長，只在正邊長範圍內最佳化。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    A=x(10−x); 0<x<10; A′=10−2xA=x(10-x);\ 0<x<10;\ A'=10-2x
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    x=5; y=5; A=25x=5;\ y=5;\ A=25
  4. 端點是退化長方形且被排除，內部最佳值則可取得。
所求值為 25。
檢查與易錯點：端點是退化長方形且被排除，內部最佳值則可取得。
先思考，待同學準備好再展開提示。
04 / 基礎#獨立練習
x² 在哪裡遞減？
f=x2f=x^2
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
看導數符號，不是函數值是否為正。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=2xf'=2x
完整解答
  1. 看導數符號，不是函數值是否為正。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=2xf'=2x
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    2x<0  ⟺  x<02x<0\iff x<0
  4. 函數值為正仍可遞減。
在 (−∞,0)。
檢查與易錯點：函數值為正仍可遞減。
推理清單・自評／教師評核
  • 看導數符號，不是函數值是否為正。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 函數值為正仍可遞減。
先思考，待同學準備好再展開提示。
05 / 基礎#獨立練習
零是否 x³ 的極值點？
f=x3f=x^3
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
檢查駐點兩側的符號。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′(0)=0f'(0)=0
完整解答
  1. 檢查駐點兩側的符號。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(0)=0f'(0)=0
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(x)=3x2>0 (x≠0)f'(x)=3x^2>0\ (x\ne0)
  4. 內部可微極值須導數為零，但導數為零並不足夠。
不是；f′=3x² 在兩側都為正。
檢查與易錯點：內部可微極值須導數為零，但導數為零並不足夠。
推理清單・自評／教師評核
  • 檢查駐點兩側的符號。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 內部可微極值須導數為零，但導數為零並不足夠。
先思考，待同學準備好再展開提示。
06 / 基礎#獨立練習
求 x² 在 [1,3] 的最小值。
f=x2; 1≤x≤3f=x^2;\ 1\le x\le3
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
留意駐點在區間外。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=2x>0 (1≤x≤3)f'=2x>0\ (1\le x\le3)
完整解答
  1. 留意駐點在區間外。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=2x>0 (1≤x≤3)f'=2x>0\ (1\le x\le3)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    min⁡f=f(1)=1\min f=f(1)=1
  4. 端點最小值不必導數為零。
所求值為 1。
檢查與易錯點：端點最小值不必導數為零。
先思考，待同學準備好再展開提示。
07 / 基礎#獨立練習
f=x²−4x，求局部極小值。
f=x2−4xf=x^2-4x
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
解一階導數，再確認二階導數為正。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=2x−4=0  ⟹  x=2; f′′=2f'=2x-4=0\implies x=2;\ f''=2
完整解答
  1. 解一階導數，再確認二階導數為正。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=2x−4=0  ⟹  x=2; f′′=2f'=2x-4=0\implies x=2;\ f''=2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f(2)=−4f(2)=-4
  4. 極值點橫坐標 2 與極小值 −4 不同。
所求值為 -4。
檢查與易錯點：極值點橫坐標 2 與極小值 −4 不同。
先思考，待同學準備好再展開提示。
08 / 鞏固#獨立練習
解釋 |x| 在零不可微，為何仍有最小值。
f=∣x∣f=|x|
  • 導數須左右有限極限相同，極值本身不要求可微。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先用定義，再考慮要求可微的判別法。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
∣x∣≥0=∣0∣|x|\ge0=|0|
完整解答
  1. 先用定義，再考慮要求可微的判別法。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    ∣x∣≥0=∣0∣|x|\ge0=|0|
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(0) does not existf\prime(0)\text{ does not exist}
  4. 駐點判別法不涵蓋尖角。
|x|≥0，零時等號成立；最小值的定義不要求可微。
檢查與易錯點：駐點判別法不涵蓋尖角。
推理清單・自評／教師評核
  • 先用定義，再考慮要求可微的判別法。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 駐點判別法不涵蓋尖角。
先思考，待同學準備好再展開提示。
09 / 鞏固#獨立練習
已知 f′=(x−1)²(x+2)，分類 x=−2 及 x=1。
f′=(x−1)2(x+2)f'=(x-1)^2(x+2)
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
偶重因子不改變正負號。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
sign(f′)=sign(x+2) (x≠1)\text{sign}(f')=\text{sign}(x+2)\ (x\ne1)
完整解答
  1. 偶重因子不改變正負號。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    sign(f′)=sign(x+2) (x≠1)\text{sign}(f')=\text{sign}(x+2)\ (x\ne1)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    at −2:−→+; at 1:+→+\text{at }-2:-\to+;\ \text{at }1:+\to+
  4. 導數的重根不一定產生極值。
−2 為局部極小點；1 為駐點但非極值點。
檢查與易錯點：導數的重根不一定產生極值。
推理清單・自評／教師評核
  • 偶重因子不改變正負號。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 導數的重根不一定產生極值。
先思考，待同學準備好再展開提示。
10 / 鞏固#獨立練習
x³−3x 的局部極大值是否實數域的全域最大值？
f=x3−3xf=x^3-3x
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
比較局部行為及無界定義域的行為。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f(−1)=2f(-1)=2
完整解答
  1. 比較局部行為及無界定義域的行為。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f(−1)=2f(-1)=2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    lim⁡x→+∞(x3−3x)=+∞\lim_{x\to+\infty}(x^3-3x)=+\infty
  4. 局部極值及全域最佳值是不同聲稱。
不是；x→∞ 時 f(x)→∞。
檢查與易錯點：局部極值及全域最佳值是不同聲稱。
推理清單・自評／教師評核
  • 比較局部行為及無界定義域的行為。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 局部極值及全域最佳值是不同聲稱。
先思考，待同學準備好再展開提示。
11 / 鞏固#獨立練習
f=x⁴，f″(0)=0 是否表示零不能為極小點？
f=x4f=x^4
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
二階導數判別法無結論時，返回符號或定義。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′′(0)=0; f′=4x3f''(0)=0;\ f'=4x^3
完整解答
  1. 二階導數判別法無結論時，返回符號或定義。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′′(0)=0; f′=4x3f''(0)=0;\ f'=4x^3
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    x4≥0=f(0)x^4\ge0=f(0)
  4. 二階導數為零表示該判別法無結論，不表示沒有極值。
不是；x⁴≥0，且 f′ 由負轉正。
檢查與易錯點：二階導數為零表示該判別法無結論，不表示沒有極值。
推理清單・自評／教師評核
  • 二階導數判別法無結論時，返回符號或定義。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 二階導數為零表示該判別法無結論，不表示沒有極值。
先思考，待同學準備好再展開提示。
12 / 遷移#獨立練習
f=x³−kx，哪些實數 k 使它有兩個不同局部極值點？
f=x3−kxf=x^3-kx
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分開考慮導數根數及符號轉變。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=3x2−k=0  ⟹  x2=k/3f'=3x^2-k=0\implies x^2=k/3
完整解答
  1. 分開考慮導數根數及符號轉變。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=3x2−k=0  ⟹  x2=k/3f'=3x^2-k=0\implies x^2=k/3
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    k>0: +,−,+; k=0: +,0,+; k<0: f′>0k>0:\ +,-,+;\ k=0:\ +,0,+;\ k<0:\ f\prime>0
  4. 邊界 k=0 不屬於兩極值情況。
恰為 k>0；k=0 是非極值駐點，k<0 處處遞增。
檢查與易錯點：邊界 k=0 不屬於兩極值情況。
推理清單・自評／教師評核
  • 分開考慮導數根數及符號轉變。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 邊界 k=0 不屬於兩極值情況。
先思考，待同學準備好再展開提示。
13 / 遷移#獨立練習
求 2x−x² 在 (0,1) 的上確界。是否可取得？
f=2x−x2; 0<x<1f=2x-x^2;\ 0<x<1
  • 容許區間為開區間，端點極限不是已取得的值。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用單調性及被排除端點的極限。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=2−2x>0 (0<x<1)f'=2-2x>0\ (0<x<1)
完整解答
  1. 使用單調性及被排除端點的極限。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=2−2x>0 (0<x<1)f'=2-2x>0\ (0<x<1)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f(x)=1−(x−1)2<1; lim⁡x→1−f(x)=1f(x)=1-(x-1)^2<1;\ \lim_{x\to1^-}f(x)=1
  4. 被排除端點的極限不是已取得的最大值。
上確界為 1，沒有可取得的最大值。
檢查與易錯點：被排除端點的極限不是已取得的最大值。
推理清單・自評／教師評核
  • 使用單調性及被排除端點的極限。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 被排除端點的極限不是已取得的最大值。
先思考，待同學準備好再展開提示。
專注一道題目
課末檢核與訂正
回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。
啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。
    選擇需要重溫的補底知識 ↗
    教師備課與評核
    40 分鐘教案
    分鐘環節教師及學生任務
    5預測預測 k 跨越零時 x³−kx 的變化。
    8建立概念示例回答：k>0 有兩個變號根，k=0 為非極值駐點。
    10引導比較示例回答：[−2,1] 的候選值為 −2、2、−2，最大值為 2。
    12獨立練習與討論先比較端點、尖角及駐點，再解兩道遷移題。
    5課末檢核與下一步課末：列出全部候選點，解釋開區間上確界為何未必是最大值。
    提問順序
    • 預測 k 跨越零時 x³−kx 的變化。
    • 示例回答：[−2,1] 的候選值為 −2、2、−2，最大值為 2。
    板書發展
    • 候選點須分類
      f′<0→f′>0: local minimumf'<0\to f'>0:\ \text{local minimum}
    預期正誤回答
    • 正確示例：駐點但無極值
    • 預期錯答：局部極小；未檢查符號便把所有駐點當成極小值。
    • 預期錯答：0；只檢查駐點，遺漏區間端點。
    • 把所有駐點當成極值。
    • 把排除端點的極限當成已取得的最大值。
    追問
    • 追問：比較兩側導數符號。 再解釋 局部極小 為何不成立。
    • 追問：比較兩端點及駐點。 再解釋 0 為何不成立。
    • 改變顯示區間，說明全域最佳值為何也須比較端點。
    補救
    • 示例回答：k>0 有兩個變號根，k=0 為非極值駐點。
    • 返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。
    離堂檢核
    • 課末：列出全部候選點，解釋開區間上確界為何未必是最大值。
    評核清單與作答示例
    • 表示法及條件
      閉區間須比較已包含端點及域內駐點。
    • 連貫數學推理
      x³−3x 的導數符號為 +、−、+，局部極大點為 (−1,2)。
    • 解釋及邊界檢查
      在 (0,1)，2x−x²<1 但趨向 1；上確界為 1，無可取得最大值。
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