Kenneth Cheng數學・模型・思考
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求導法則與定義域

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修 第二册(A版).pdf · 5.2 · PDF 77 / 印刷頁 72

先重溫：變化率與切線意義

專題 01

求導法則與定義域

按式子結構選冪、乘積、商或鏈式法則，保留定義域。

學完之後，你能解釋

  • 按式子結構選冪、乘積、商或鏈式法則，保留定義域。
  • 反求未知內層變化率，檢查遺漏的導數因子。

依結構求導

相乘或嵌套量須追蹤每個改變的來源。

乘積透過任一因子改變，複合函數的變化率須經內層傳遞。

(uv)′=u′v+uv′; (f∘g)′=f′(g)g′(uv)'=u'v+uv';\ (f\circ g)'=f'(g)g'

  1. 乘積透過任一因子改變，複合函數的變化率須經內層傳遞。

    Δ(uv)=uΔv+vΔu+ΔuΔv\Delta(uv)=u\Delta v+v\Delta u+\Delta u\Delta v

  2. 乘積透過任一因子改變，複合函數的變化率須經內層傳遞。

    (u/v)′=(u′v−uv′)/v2(u/v)'=(u'v-uv')/v^2

成立條件

  • 分量導數須存在，商的分母須非零。
  • 實對數真數須為正，此處三角求導使用弧度。

反例：x·x 的導數相乘得 1，但正確導數為 2x。

  • 式子樹、展開多項式、內層變化率表及導數曲線。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：對 (kx+1)³，預測 k 變號時零處導數。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

鏈式法則須乘 k=2；x=0 時導數為 6。-2-35.85-112.825061.51110.1752158.85xf 藍/blue; f′ 綠/green; missing k 漏 k 橙/orange

鏈式法則須乘 k=2；x=0 時導數為 6。

圖像的數值資料，可列印
自變量函數導數漏因子結果
-1-163
0163
1275427

解釋：比較正確的 3k(kx+1)² 與漏掉 k 的式子。

遷移：k=0 時解釋為何函數為常數且導數為零。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 基礎#示範例題

f=3x⁴−2x+5，求 f′(2)。

f(x)=3x4−2x+5f(x)=3x^4-2x+5
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節

範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。

計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
逐項求導，常數的導數為零。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=12x3−2f'=12x^3-2
完整解答
  1. 逐項求導，常數的導數為零。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=12x3−2f'=12x^3-2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(2)=96−2=94f'(2)=96-2=94
  4. 須同時把次方降低及乘上原次方。
所求值為 94。
檢查與易錯點：須同時把次方降低及乘上原次方。
先思考，待同學準備好再展開提示。
02 / 鞏固#示範例題
求 (x²+1)(x−2) 的導數。
f=(x2+1)(x−2)f=(x^2+1)(x-2)
已提供首步，請接續推理：每個因子各貢獻一個求導項。
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
每個因子各貢獻一個求導項。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=2x(x−2)+(x2+1)f'=2x(x-2)+(x^2+1)
完整解答
  1. 每個因子各貢獻一個求導項。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=2x(x−2)+(x2+1)f'=2x(x-2)+(x^2+1)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=3x2−4x+1f'=3x^2-4x+1
  4. 把導數相乘會遺漏兩個交叉項。
f′=3x²−4x+1。
檢查與易錯點：把導數相乘會遺漏兩個交叉項。
推理清單・自評／教師評核
  • 每個因子各貢獻一個求導項。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 把導數相乘會遺漏兩個交叉項。
先思考，待同學準備好再展開提示。
03 / 遷移#示範例題
F(x)=g(x²)，F′(2)=24。求 g′(4)，說明為何答案不是 24。
F′(2)=24; F(x)=g(x2)F'(2)=24;\ F(x)=g(x^2)
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
除去內層導數因子。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
F′(x)=2xg′(x2)F'(x)=2xg'(x^2)
完整解答
  1. 除去內層導數因子。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    F′(x)=2xg′(x2)F'(x)=2xg'(x^2)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    24=4g′(4)  ⟹  g′(4)=624=4g'(4)\implies g'(4)=6
  4. F′ 及 g′ 對不同的自變量求導。
所求值為 6。
檢查與易錯點：F′ 及 g′ 對不同的自變量求導。
先思考，待同學準備好再展開提示。
04 / 基礎#獨立練習
求常數函數 f(x)=7 的導數。
f(x)=7f(x)=7
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
任何非零自變量增量都不改變函數值。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
[f(x+h)−f(x)]/h=(7−7)/h[f(x+h)-f(x)]/h=(7-7)/h
完整解答
  1. 任何非零自變量增量都不改變函數值。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    [f(x+h)−f(x)]/h=(7−7)/h[f(x+h)-f(x)]/h=(7-7)/h
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(x)=0f'(x)=0
  4. 常數的導數為零，不是該常數。
所求值為 0。
檢查與易錯點：常數的導數為零，不是該常數。
先思考，待同學準備好再展開提示。
05 / 基礎#獨立練習
f=x⁵，求 f′(−1)。
f=x5f=x^5
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用冪法則，再計算偶次方。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=5x4f'=5x^4
完整解答
  1. 使用冪法則，再計算偶次方。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=5x4f'=5x^4
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(−1)=5f'(-1)=5
  4. 自變量為負不代表導數必為負。
所求值為 5。
檢查與易錯點：自變量為負不代表導數必為負。
先思考，待同學準備好再展開提示。
06 / 基礎#獨立練習
f=(2x+1)³，求 f′(0)。
f=(2x+1)3f=(2x+1)^3
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
對外層求導，再乘內層導數。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=3(2x+1)2(2)f'=3(2x+1)^2(2)
完整解答
  1. 對外層求導，再乘內層導數。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=3(2x+1)2(2)f'=3(2x+1)^2(2)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(0)=6f'(0)=6
  4. 漏掉內層因子會得到正確變化率的一半。
所求值為 6。
檢查與易錯點：漏掉內層因子會得到正確變化率的一半。
先思考，待同學準備好再展開提示。
07 / 基礎#獨立練習
f=(x+1)/(x−1)，求 f′(2)。
f=(x+1)/(x−1); x≠1f=(x+1)/(x-1);\ x\ne1
  • 有理式分母須非零，被排除自變量不是曲線上的點。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
按商法則的次序相減。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=[(x−1)−(x+1)]/(x−1)2f'=[(x-1)-(x+1)]/(x-1)^2
完整解答
  1. 按商法則的次序相減。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=[(x−1)−(x+1)]/(x−1)2f'=[(x-1)-(x+1)]/(x-1)^2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(2)=−2f'(2)=-2
  4. 把導數相除會得到 1，並非商法則。
所求值為 -2。
檢查與易錯點：把導數相除會得到 1，並非商法則。
先思考，待同學準備好再展開提示。
08 / 鞏固#獨立練習
求 ln(3x−2) 的導數，並寫出實定義域。
f=ln⁡(3x−2)f=\ln(3x-2)
  • 使用實數 x>2/3，使 3x−2>0。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用鏈式法則時保留真數為正的條件。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=3/(3x−2)f'=3/(3x-2)
完整解答
  1. 使用鏈式法則時保留真數為正的條件。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=3/(3x−2)f'=3/(3x-2)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    3x−2>0  ⟹  x>2/33x-2>0\implies x>2/3
  4. 分母非零不足以滿足對數的定義域。
f′=3/(3x−2)，x>2/3。
檢查與易錯點：分母非零不足以滿足對數的定義域。
推理清單・自評／教師評核
  • 使用鏈式法則時保留真數為正的條件。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 分母非零不足以滿足對數的定義域。
先思考，待同學準備好再展開提示。
09 / 鞏固#獨立練習
x 使用弧度，求 sin(2x) 的導數。
f=sin⁡(2x)f=\sin(2x)
  • 三角函數自變量以弧度計。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用弧度求導公式及內層因子 2。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=cos⁡(2x)(2)f'=\cos(2x)(2)
完整解答
  1. 使用弧度求導公式及內層因子 2。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=cos⁡(2x)(2)f'=\cos(2x)(2)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=2cos⁡(2x)f'=2\cos(2x)
  4. 若自變量以度數表示，須另乘 π/180。
f′=2cos(2x)。
檢查與易錯點：若自變量以度數表示，須另乘 π/180。
推理清單・自評／教師評核
  • 使用弧度求導公式及內層因子 2。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 若自變量以度數表示，須另乘 π/180。
先思考，待同學準備好再展開提示。
10 / 鞏固#獨立練習
求 e^(−x) 的導數。
f=e−xf=e^{-x}
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
內層 −x 的導數為 −1。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=e−x(−1)f'=e^{-x}(-1)
完整解答
  1. 內層 −x 的導數為 −1。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=e−x(−1)f'=e^{-x}(-1)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=−e−xf'=-e^{-x}
  4. 指數函數值仍為正，但此處變化率為負。
f′=−e^(−x)。
檢查與易錯點：指數函數值仍為正，但此處變化率為負。
推理清單・自評／教師評核
  • 內層 −x 的導數為 −1。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 指數函數值仍為正，但此處變化率為負。
先思考，待同學準備好再展開提示。
11 / 鞏固#獨立練習
f=x²(x−3)，求 f′(1)。
f=x2(x−3)f=x^2(x-3)
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
對兩個因子求導，或先展開。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=2x(x−3)+x2f'=2x(x-3)+x^2
完整解答
  1. 對兩個因子求導，或先展開。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=2x(x−3)+x2f'=2x(x-3)+x^2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(1)=−4+1=−3f'(1)=-4+1=-3
  4. 建立完整導數後才代入。
所求值為 -3。
檢查與易錯點：建立完整導數後才代入。
先思考，待同學準備好再展開提示。
12 / 遷移#獨立練習
學生把 x·x 的導數寫成 1·1。補回遺漏項並解釋錯誤。
f=x⋅xf=x\cdot x
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分別追蹤其中一個因子的改變。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
Δ(x2)=2xΔx+(Δx)2\Delta(x^2)=2x\Delta x+(\Delta x)^2
完整解答
  1. 分別追蹤其中一個因子的改變。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    Δ(x2)=2xΔx+(Δx)2\Delta(x^2)=2x\Delta x+(\Delta x)^2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=lim⁡h→0(2x+h)=2xf'=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x
  4. 例如 x=0 的導數為 0 而不是 1。
f′=1·x+x·1=2x；導數相乘不是乘積法則。
檢查與易錯點：例如 x=0 的導數為 0 而不是 1。
推理清單・自評／教師評核
  • 分別追蹤其中一個因子的改變。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 例如 x=0 的導數為 0 而不是 1。
先思考，待同學準備好再展開提示。
13 / 遷移#獨立練習
f(x)=(ax+1)³，求使 f′(0)=12 的所有實數 a。
f=(ax+1)3f=(ax+1)^3
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
用未知參數表示所求導數。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′(x)=3a(ax+1)2f'(x)=3a(ax+1)^2
完整解答
  1. 用未知參數表示所求導數。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(x)=3a(ax+1)2f'(x)=3a(ax+1)^2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(0)=3a=12  ⟹  a=4f'(0)=3a=12\implies a=4
  4. 內層導數取決於 a，不能忽略參數。
所求值為 4。
檢查與易錯點：內層導數取決於 a，不能忽略參數。
先思考，待同學準備好再展開提示。
專注一道題目
課末檢核與訂正
回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。
啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。
    選擇需要重溫的補底知識 ↗
    教師備課與評核
    40 分鐘教案
    分鐘環節教師及學生任務
    5預測展開前預測 x·x 的導數。
    8建立概念示例回答：每個因子各貢獻 1·x，總和為 2x。
    10引導比較示例回答：F′(2)=4g′(4)=24，故 g′(4)=6。
    12獨立練習與討論按最外層運算分類，再比較多項式及延伸題的定義域。
    5課末檢核與下一步課末：(3x+1)² 的導數為 6(3x+1)，ln(3x−2) 須 x>2/3。
    提問順序
    • 展開前預測 x·x 的導數。
    • 示例回答：F′(2)=4g′(4)=24，故 g′(4)=6。
    板書發展
    • 依結構求導
      (uv)′=u′v+uv′; (f∘g)′=f′(g)g′(uv)'=u'v+uv';\ (f\circ g)'=f'(g)g'
    預期正誤回答
    • 正確示例：6
    • 預期錯答：2；複合函數求導時漏掉內層導數。
    • 預期錯答：6x³；把導數相乘，沒有相加兩個乘積法則項。
    • 漏掉內層導數。
    • 把原運算法則直接套用為導數相乘或相除。
    追問
    • 追問：保留外層及內層導數。 再解釋 2 為何不成立。
    • 追問：先合併次方，再求導。 再解釋 6x³ 為何不成立。
    • k=0 時解釋為何函數為常數且導數為零。
    補救
    • 示例回答：每個因子各貢獻 1·x，總和為 2x。
    • 返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。
    離堂檢核
    • 課末：(3x+1)² 的導數為 6(3x+1)，ln(3x−2) 須 x>2/3。
    評核清單與作答示例
    • 表示法及條件
      兩因子均可微，(uv)′=u′v+uv′。
    • 連貫數學推理
      (x²+1)(x−2) 的導數為 2x(x−2)+(x²+1)=3x²−4x+1。
    • 解釋及邊界檢查
      ln(3x−2) 須 x>2/3，不只是 x≠2/3。
    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。
    教材與來源說明 ↗