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學習・解釋・訂正

f(x)=(ax+1)³，求使 f′(0)=12 的所有實數 a。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高二選擇性必修第二册(A版).pdf · 5.2 · PDF 77 / 印刷頁 72

先重溫：變化率與切線意義

專題 01

求導法則與定義域

按式子結構選冪、乘積、商或鏈式法則，保留定義域。

學完之後，你能解釋

按式子結構選冪、乘積、商或鏈式法則，保留定義域。
反求未知內層變化率，檢查遺漏的導數因子。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 遷移#獨立練習

f(x)=(ax+1)³，求使 f′(0)=12 的所有實數 a。

f=(ax+1)^3

使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。

考點與先備課節

範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用未知參數表示所求導數。

提示 2

先從這個中間關係式入手。

f'(x)=3a(ax+1)^2

完整解答

用未知參數表示所求導數。
建立並化簡此數學關係式。
$f'(x)=3a(ax+1)^2$
建立並化簡此數學關係式。
$f'(0)=3a=12\implies a=4$
內層導數取決於 a，不能忽略參數。

所求值為 4。

檢查與易錯點：內層導數取決於 a，不能忽略參數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	預測	展開前預測 x·x 的導數。
8	建立概念	示例回答：每個因子各貢獻 1·x，總和為 2x。
10	引導比較	示例回答：F′(2)=4g′(4)=24，故 g′(4)=6。
12	獨立練習與討論	按最外層運算分類，再比較多項式及延伸題的定義域。
5	課末檢核與下一步	課末：(3x+1)² 的導數為 6(3x+1)，ln(3x−2) 須 x>2/3。

提問順序

展開前預測 x·x 的導數。
示例回答：F′(2)=4g′(4)=24，故 g′(4)=6。

板書發展

依結構求導
$(uv)'=u'v+uv';\ (f\circ g)'=f'(g)g'$

預期正誤回答

正確示例：6
預期錯答：2；複合函數求導時漏掉內層導數。
預期錯答：6x³；把導數相乘，沒有相加兩個乘積法則項。
漏掉內層導數。
把原運算法則直接套用為導數相乘或相除。

追問

追問：保留外層及內層導數。再解釋 2 為何不成立。
追問：先合併次方，再求導。再解釋 6x³ 為何不成立。
k=0 時解釋為何函數為常數且導數為零。

補救

示例回答：每個因子各貢獻 1·x，總和為 2x。
返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。

離堂檢核

課末：(3x+1)² 的導數為 6(3x+1)，ln(3x−2) 須 x>2/3。

評核清單與作答示例

表示法及條件
兩因子均可微，(uv)′=u′v+uv′。
連貫數學推理
(x²+1)(x−2) 的導數為 2x(x−2)+(x²+1)=3x²−4x+1。
解釋及邊界檢查
ln(3x−2) 須 x>2/3，不只是 x≠2/3。