Kenneth Cheng數學・模型・思考
搜尋EN
← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

變化率與切線意義

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修 第二册(A版).pdf · 5.1 · PDF 64 / 印刷頁 59

專題 01

變化率與切線意義

由逐漸縮小的割線推導切線斜率，再連結斜率、切點及局部近似。

學完之後，你能解釋

  • 由逐漸縮小的割線推導切線斜率，再連結斜率、切點及局部近似。
  • 區分平均率、瞬時率、高度、法線及反向變化率。

由割線到切線

旅程平均速度不能描述每個瞬間的變化率。

割線量度有限增量，切線斜率是其左右相同且有限的極限。

f′(a)=lim⁡h→0[f(a+h)−f(a)]/hf\prime(a)=\lim_{h\to0}[f(a+h)-f(a)]/h

  1. 割線量度有限增量，切線斜率是其左右相同且有限的極限。

    [(a+h)2−a2]/h=2a+h[(a+h)^2-a^2]/h=2a+h

  2. 割線量度有限增量，切線斜率是其左右相同且有限的極限。

    lim⁡h→0(2a+h)=2a\lim_{h\to0}(2a+h)=2a

成立條件

  • 取極限前 h≠0，f 須在 a 附近有定義。

反例：|x| 在零連續，但左右斜率為 −1 及 1。

  • 割線斜率表、切點圖、切線方程及近似誤差。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：對 y=x²，預測 h 從兩側趨零時割線斜率如何改變。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

割線斜率 2.5 趨向 2，切線誤差 h²=0.25。-3-2-1.51041.57310xf=x² 藍/blue; tangent 切線 綠/green; secant 割線 橙/orange

割線斜率 2.5 趨向 2，切線誤差 h²=0.25。

圖像的數值資料，可列印
增量割線斜率切線誤差
0.52.50.25
0.252.250.0625
0.052.050.0025

解釋：比較 2a+h 及切線斜率 2a，保留 h=0 時割線未定義的例外。

遷移：把垂直差 h² 與局部近似精確度連結。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 基礎#示範例題

f(x)=x² 在 x=1，h=1/2 時求割線斜率。

f(x)=x2; h=1/2f(x)=x^2;\ h=1/2
  • 割線差商須 h≠0，化簡後才取極限。
考點與先備課節

範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。

計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先把兩個函數值相減，再除以 h。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
mh=[(1+h)2−1]/h=2+hm_h=[(1+h)^2-1]/h=2+h
完整解答
  1. 先把兩個函數值相減，再除以 h。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    mh=[(1+h)2−1]/h=2+hm_h=[(1+h)^2-1]/h=2+h
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    m1/2=5/2m_{1/2}=5/2
  4. 分母是自變量改變量，不是最後的自變量。
所求值為 2.5。
檢查與易錯點：分母是自變量改變量，不是最後的自變量。
先思考，待同學準備好再展開提示。
02 / 鞏固#示範例題
求 y=x² 在 x=2 的切線。
y=x2; a=2y=x^2;\ a=2
已提供首步，請接續推理：分別求斜率及切點。
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分別求斜率及切點。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′(2)=4; f(2)=4f'(2)=4;\ f(2)=4
完整解答
  1. 分別求斜率及切點。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(2)=4; f(2)=4f'(2)=4;\ f(2)=4
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    y−4=4(x−2)y-4=4(x-2)
  4. 只有斜率不能確定一條直線。
y=4x−4。
檢查與易錯點：只有斜率不能確定一條直線。
推理清單・自評／教師評核
  • 分別求斜率及切點。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 只有斜率不能確定一條直線。
先思考，待同學準備好再展開提示。
03 / 遷移#示範例題
感應器記錄 s=t²，t>0。在 t=2 求 dt/ds，說明為何與 ds/dt 互為倒數。
s=t2; t=2s=t^2;\ t=2
  • 使用 t>0 分支，使 s=t² 可逆且在 t=2 導數非零。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先限制在可逆分支，再對 t=√s 求導。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
ds/dt=2t=4ds/dt=2t=4
完整解答
  1. 先限制在可逆分支，再對 t=√s 求導。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    ds/dt=2t=4ds/dt=2t=4
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    dt/ds=1/(2s)=1/4dt/ds=1/(2\sqrt{s})=1/4
  4. 倒數關係要求導數非零及局部反函數。
所求值為 0.25。
檢查與易錯點：倒數關係要求導數非零及局部反函數。
先思考，待同學準備好再展開提示。
04 / 基礎#獨立練習
f(x)=x²，求 f′(−2)。
f(x)=x2; a=−2f(x)=x^2;\ a=-2
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
取差商的極限。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
[(−2+h)2−4]/h=−4+h[(-2+h)^2-4]/h=-4+h
完整解答
  1. 取差商的極限。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    [(−2+h)2−4]/h=−4+h[(-2+h)^2-4]/h=-4+h
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(−2)=−4f'(-2)=-4
  4. 負斜率描述方向，不是負距離。
所求值為 -4。
檢查與易錯點：負斜率描述方向，不是負距離。
先思考，待同學準備好再展開提示。
05 / 基礎#獨立練習
位置 s(t)=t²，求 t=1 至 t=3 的平均速度。
s(t)=t2; 1≤t≤3s(t)=t^2;\ 1\le t\le3
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
位置改變量除以時間改變量。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
vavg=(9−1)/(3−1)v_{avg}=(9-1)/(3-1)
完整解答
  1. 位置改變量除以時間改變量。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    vavg=(9−1)/(3−1)v_{avg}=(9-1)/(3-1)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    vavg=4v_{avg}=4
  4. 區間平均速度不必等於起點瞬時速度。
所求值為 4。
檢查與易錯點：區間平均速度不必等於起點瞬時速度。
先思考，待同學準備好再展開提示。
06 / 基礎#獨立練習
f(x)=x³ 在 x=2，求切線斜率而非高度。
f(x)=x3; a=2f(x)=x^3;\ a=2
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先求導，再代入。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′(x)=3x2f'(x)=3x^2
完整解答
  1. 先求導，再代入。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(x)=3x2f'(x)=3x^2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(2)=12; f(2)=8f'(2)=12;\ f(2)=8
  4. 函數值及導數值回答不同問題。
所求值為 12。
檢查與易錯點：函數值及導數值回答不同問題。
先思考，待同學準備好再展開提示。
07 / 基礎#獨立練習
|x| 在零是否有有限導數？用左右差商說明。
f(x)=∣x∣; a=0f(x)=|x|;\ a=0
  • 導數須左右有限極限相同，極值本身不要求可微。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
去除絕對值時保留 h 的符號。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
∣h∣/h=−1 (h<0)|h|/h=-1\ (h<0)
完整解答
  1. 去除絕對值時保留 h 的符號。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    ∣h∣/h=−1 (h<0)|h|/h=-1\ (h<0)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    ∣h∣/h=1 (h>0)|h|/h=1\ (h>0)
  4. 連續不能保證左右導數相同。
沒有；左右斜率為 −1 及 1。
檢查與易錯點：連續不能保證左右導數相同。
推理清單・自評／教師評核
  • 去除絕對值時保留 h 的符號。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 連續不能保證左右導數相同。
先思考，待同學準備好再展開提示。
08 / 鞏固#獨立練習
y=x² 在 x=1，求法線斜率。
y=x2; a=1y=x^2;\ a=1
  • 法線斜率為有限值時，切線斜率須非零。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先求切線斜率，再使用垂直直線的斜率關係。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
mT=f′(1)=2m_T=f'(1)=2
完整解答
  1. 先求切線斜率，再使用垂直直線的斜率關係。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    mT=f′(1)=2m_T=f'(1)=2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    mN=−1/mT=−1/2m_N=-1/m_T=-1/2
  4. 只取相反數不能使斜率互相垂直。
所求值為 -0.5。
檢查與易錯點：只取相反數不能使斜率互相垂直。
先思考，待同學準備好再展開提示。
09 / 鞏固#獨立練習
求經過 (0,−4) 且與 y=x² 相切的所有直線。
y=x2; P=(0,−4)y=x^2;\ P=(0,-4)
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
用 a 表示未知切點，不是外部點。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
y=2ax−a2; −4=−a2y=2ax-a^2;\ -4=-a^2
完整解答
  1. 用 a 表示未知切點，不是外部點。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    y=2ax−a2; −4=−a2y=2ax-a^2;\ -4=-a^2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    a=±2; y=±4x−4a=\pm2;\ y=\pm4x-4
  4. 給定點不必位於曲線上。
y=4x−4 及 y=−4x−4。
檢查與易錯點：給定點不必位於曲線上。
推理清單・自評／教師評核
  • 用 a 表示未知切點，不是外部點。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 給定點不必位於曲線上。
先思考，待同學準備好再展開提示。
10 / 鞏固#獨立練習
描述 y=x² 在零的切線及法線。
y=x2; a=0y=x^2;\ a=0
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
用方程表示垂直法線，不要指定有限斜率。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′(0)=0f'(0)=0
完整解答
  1. 用方程表示垂直法線，不要指定有限斜率。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(0)=0f'(0)=0
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    T:y=0; N:x=0T:y=0;\ N:x=0
  4. −1/0 未定義，但法線仍是有效的垂直直線。
切線 y=0；法線 x=0。
檢查與易錯點：−1/0 未定義，但法線仍是有效的垂直直線。
推理清單・自評／教師評核
  • 用方程表示垂直法線，不要指定有限斜率。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • −1/0 未定義，但法線仍是有效的垂直直線。
先思考，待同學準備好再展開提示。
11 / 鞏固#獨立練習
已知 f(2)=7、f′(2)=−3，用切線近似 f(2.04)。
f(2)=7; f′(2)=−3f(2)=7;\ f'(2)=-3
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用小的自變量增量，保留導數正負號。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
Δx=0.04\Delta x=0.04
完整解答
  1. 使用小的自變量增量，保留導數正負號。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    Δx=0.04\Delta x=0.04
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f(2.04)≈7−3(0.04)=6.88f(2.04)\approx7-3(0.04)=6.88
  4. 此為局部近似；沒有額外資料時不是精確值。
所求值為 6.88。
檢查與易錯點：此為局部近似；沒有額外資料時不是精確值。
先思考，待同學準備好再展開提示。
12 / 遷移#獨立練習
哪些 c 使 y=x+c 與 y=x² 相切？說明為何唯一。
x2=x+cx^2=x+c
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把相切轉成重複交點根。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
x2−x−c=0; Δ=1+4cx^2-x-c=0;\ \Delta=1+4c
完整解答
  1. 把相切轉成重複交點根。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    x2−x−c=0; Δ=1+4cx^2-x-c=0;\ \Delta=1+4c
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    Δ=0  ⟹  c=−1/4; x=1/2\Delta=0\implies c=-1/4;\ x=1/2
  4. 附近斜率相同不代表相切，仍須符合接觸條件。
c=−1/4，切點橫坐標為 1/2。
檢查與易錯點：附近斜率相同不代表相切，仍須符合接觸條件。
推理清單・自評／教師評核
  • 把相切轉成重複交點根。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 附近斜率相同不代表相切，仍須符合接觸條件。
先思考，待同學準備好再展開提示。
13 / 遷移#獨立練習
對 y=x²，證明在 a 的切線近似總不高估 f(a+h)，並求 h=−0.2 時的誤差。
f(x)=x2; h=−0.2f(x)=x^2;\ h=-0.2
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
用精確函數值減去切線預測。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
(a+h)2−[a2+2ah]=h2≥0(a+h)^2-[a^2+2ah]=h^2\ge0
完整解答
  1. 用精確函數值減去切線預測。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    (a+h)2−[a2+2ah]=h2≥0(a+h)^2-[a^2+2ah]=h^2\ge0
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    h=−0.2  ⟹  h2=0.04h=-0.2\implies h^2=0.04
  4. h 正負兩種情況的誤差均非負；一次項相消。
所求值為 0.04。
檢查與易錯點：h 正負兩種情況的誤差均非負；一次項相消。
先思考，待同學準備好再展開提示。
專注一道題目
課末檢核與訂正
回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。
啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。
    選擇需要重溫的補底知識 ↗
    教師備課與評核
    40 分鐘教案
    分鐘環節教師及學生任務
    5預測預測 x² 在 a=1 左右割線斜率。
    8建立概念示例回答：差商 2+h 趨向 2，最初 h 不可為零。
    10引導比較示例回答：(2,4) 的斜率 4 給 y−4=4(x−2)，法線斜率為 −1/4。
    12獨立練習與討論對比尖角、法線及局部誤差題，計算前先說明理由。
    5課末檢核與下一步課末：解釋 f(3)=9 但 f′(3)=6，以及法線何時垂直。
    提問順序
    • 預測 x² 在 a=1 左右割線斜率。
    • 示例回答：(2,4) 的斜率 4 給 y−4=4(x−2)，法線斜率為 −1/4。
    板書發展
    • 由割線到切線
      f′(a)=lim⁡h→0[f(a+h)−f(a)]/hf\prime(a)=\lim_{h\to0}[f(a+h)-f(a)]/h
    預期正誤回答
    • 正確示例：6
    • 預期錯答：9；以函數高度代替導數。
    • 預期錯答：導數為 0。；把可微內部極小值定理套在尖角。
    • 混淆 f(a) 及 f′(a)。
    • 把尖角當成水平切線。
    追問
    • 追問：先求導數，再代入。 再解釋 9 為何不成立。
    • 追問：比較左右差商。 再解釋 導數為 0。 為何不成立。
    • 把垂直差 h² 與局部近似精確度連結。
    補救
    • 示例回答：差商 2+h 趨向 2，最初 h 不可為零。
    • 返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。
    離堂檢核
    • 課末：解釋 f(3)=9 但 f′(3)=6，以及法線何時垂直。
    評核清單與作答示例
    • 表示法及條件
      h≠0 時，[(1+h)²−1]/h=2+h，極限為 2。
    • 連貫數學推理
      在 (2,4)，f′(2)=4，故 y−4=4(x−2)。
    • 解釋及邊界檢查
      精確值減預測值為 h²≥0，h 為負時亦然。
    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。
    教材與來源說明 ↗