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學習・解釋・訂正

感應器記錄 s=t²，t>0。在 t=2 求 dt/ds，說明為何與 ds/dt 互為倒數。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高二選擇性必修第二册(A版).pdf · 5.1 · PDF 64 / 印刷頁 59

專題 01

變化率與切線意義

由逐漸縮小的割線推導切線斜率，再連結斜率、切點及局部近似。

學完之後，你能解釋

由逐漸縮小的割線推導切線斜率，再連結斜率、切點及局部近似。
區分平均率、瞬時率、高度、法線及反向變化率。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 遷移#示範例題

感應器記錄 s=t²，t>0。在 t=2 求 dt/ds，說明為何與 ds/dt 互為倒數。

s=t^2;\ t=2

使用 t>0 分支，使 s=t² 可逆且在 t=2 導數非零。

考點與先備課節

範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先限制在可逆分支，再對 t=√s 求導。

提示 2

先從這個中間關係式入手。

ds/dt=2t=4

完整解答

先限制在可逆分支，再對 t=√s 求導。
建立並化簡此數學關係式。
$ds/dt=2t=4$
建立並化簡此數學關係式。
$dt/ds=1/(2\sqrt{s})=1/4$
倒數關係要求導數非零及局部反函數。

所求值為 0.25。

檢查與易錯點：倒數關係要求導數非零及局部反函數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	預測	預測 x² 在 a=1 左右割線斜率。
8	建立概念	示例回答：差商 2+h 趨向 2，最初 h 不可為零。
10	引導比較	示例回答：(2,4) 的斜率 4 給 y−4=4(x−2)，法線斜率為 −1/4。
12	獨立練習與討論	對比尖角、法線及局部誤差題，計算前先說明理由。
5	課末檢核與下一步	課末：解釋 f(3)=9 但 f′(3)=6，以及法線何時垂直。

提問順序

預測 x² 在 a=1 左右割線斜率。
示例回答：(2,4) 的斜率 4 給 y−4=4(x−2)，法線斜率為 −1/4。

板書發展

由割線到切線
$f\prime(a)=\lim_{h\to0}[f(a+h)-f(a)]/h$

預期正誤回答

正確示例：6
預期錯答：9；以函數高度代替導數。
預期錯答：導數為 0。；把可微內部極小值定理套在尖角。
混淆 f(a) 及 f′(a)。
把尖角當成水平切線。

追問

追問：先求導數，再代入。再解釋 9 為何不成立。
追問：比較左右差商。再解釋導數為 0。為何不成立。
把垂直差 h² 與局部近似精確度連結。

補救

示例回答：差商 2+h 趨向 2，最初 h 不可為零。
返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。

離堂檢核

課末：解釋 f(3)=9 但 f′(3)=6，以及法線何時垂直。

評核清單與作答示例

表示法及條件
h≠0 時，[(1+h)²−1]/h=2+h，極限為 2。
連貫數學推理
在 (2,4)，f′(2)=4，故 y−4=4(x−2)。
解釋及邊界檢查
精確值減預測值為 h²≥0，h 為負時亦然。