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學習・解釋・訂正

求 2x−x² 在 (0,1) 的上確界。是否可取得？

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高二選擇性必修第二册(A版).pdf · 5.3 · PDF 89 / 印刷頁 84

先重溫：求導法則與定義域

專題 01

單調性與受限極值

用導數變號、端點及可行定義域區分局部極值及全域最佳值。

學完之後，你能解釋

用導數變號、端點及可行定義域區分局部極值及全域最佳值。
處理參數邊界及不能取得的界。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 遷移#獨立練習

求 2x−x² 在 (0,1) 的上確界。是否可取得？

f=2x-x^2;\ 0<x<1

容許區間為開區間，端點極限不是已取得的值。

考點與先備課節

範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用單調性及被排除端點的極限。

提示 2

先從這個中間關係式入手。

f'=2-2x>0\ (0<x<1)

完整解答

使用單調性及被排除端點的極限。
建立並化簡此數學關係式。
$f'=2-2x>0\ (0<x<1)$
建立並化簡此數學關係式。
$f(x)=1-(x-1)^2<1;\ \lim_{x\to1^-}f(x)=1$
被排除端點的極限不是已取得的最大值。

上確界為 1，沒有可取得的最大值。

檢查與易錯點：被排除端點的極限不是已取得的最大值。

推理清單・自評／教師評核

使用單調性及被排除端點的極限。
列出中間關係，連同限制解釋結論。
被排除端點的極限不是已取得的最大值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	預測	預測 k 跨越零時 x³−kx 的變化。
8	建立概念	示例回答：k>0 有兩個變號根，k=0 為非極值駐點。
10	引導比較	示例回答：[−2,1] 的候選值為 −2、2、−2，最大值為 2。
12	獨立練習與討論	先比較端點、尖角及駐點，再解兩道遷移題。
5	課末檢核與下一步	課末：列出全部候選點，解釋開區間上確界為何未必是最大值。

提問順序

預測 k 跨越零時 x³−kx 的變化。
示例回答：[−2,1] 的候選值為 −2、2、−2，最大值為 2。

板書發展

候選點須分類
$f'<0\to f'>0:\ \text{local minimum}$

預期正誤回答

正確示例：駐點但無極值
預期錯答：局部極小；未檢查符號便把所有駐點當成極小值。
預期錯答：0；只檢查駐點，遺漏區間端點。
把所有駐點當成極值。
把排除端點的極限當成已取得的最大值。

追問

追問：比較兩側導數符號。再解釋局部極小為何不成立。
追問：比較兩端點及駐點。再解釋 0 為何不成立。
改變顯示區間，說明全域最佳值為何也須比較端點。

補救

示例回答：k>0 有兩個變號根，k=0 為非極值駐點。
返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。

離堂檢核

課末：列出全部候選點，解釋開區間上確界為何未必是最大值。

評核清單與作答示例

表示法及條件
閉區間須比較已包含端點及域內駐點。
連貫數學推理
x³−3x 的導數符號為 +、−、+，局部極大點為 (−1,2)。
解釋及邊界檢查
在 (0,1)，2x−x²<1 但趨向 1；上確界為 1，無可取得最大值。