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學習・解釋・訂正

凹凸性、拐點與導數圖

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修 第二册(A版).pdf · 5.3 · PDF 89 / 印刷頁 84

先重溫：求導法則與定義域單調性與受限極值

專題 01

凹凸性、拐點與導數圖

確認曲線上一點的凹凸性轉變，區分拐點及駐點。

學完之後，你能解釋

  • 確認曲線上一點的凹凸性轉變，區分拐點及駐點。
  • 解讀二階導數符號及參數退化情況。

凹凸性是斜率的改變

曲線可上升而向下彎，函數值及凹凸性回答不同問題。

導數遞增表示斜率增大，拐點要求曲線上一點凹凸性反轉。

f′′>0: concave upf''>0:\ \text{concave up}

  1. 導數遞增表示斜率增大，拐點要求曲線上一點凹凸性反轉。

    (x4+kx2)′′=12x2+2k(x^4+kx^2)''=12x^2+2k

  2. 導數遞增表示斜率增大，拐點要求曲線上一點凹凸性反轉。

    k<0: x=±−k/6k<0:\ x=\pm\sqrt{-k/6}

成立條件

  • 該點須屬於曲線，二階導數為零只提供候選點。

反例：x⁴ 的 f″(0)=0 但不變號，1/x 在零有定義域缺口。

  • 曲線、一階及二階導數符號、切線比較與坐標表。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：預測 k 跨零時 x⁴+kx² 的拐點。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

兩個二階導數單根使凹凸性改變，切線不必水平。-2-14-15.5025144.5264xf 藍/blue; f″ 橙/orange; inflections 拐點 綠/green

兩個二階導數單根使凹凸性改變，切線不必水平。

圖像的數值資料，可列印
自變量二階導數凹凸性
-1.515Up / 向上
0-12Down / 向下
1.515Up / 向上

解釋：用表格及 f″=12x²+2k 區分兩個單根及零處重根。

遷移：解釋兩拐點消失為何不表示零處極小值消失。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 基礎#示範例題

求 x³ 的拐點。

f=x3f=x^3
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節

範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。

計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
要求曲線上一點的凹凸性轉變。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′′=6xf''=6x
完整解答
  1. 要求曲線上一點的凹凸性轉變。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′′=6xf''=6x
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    x<0:f′′<0; x>0:f′′>0x<0:f\prime\prime<0;\ x>0:f\prime\prime>0
  4. 二階導數為零不足以證明拐點。
(0,0)，因 f″=6x 改變正負號。
檢查與易錯點：二階導數為零不足以證明拐點。
推理清單・自評／教師評核
  • 要求曲線上一點的凹凸性轉變。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 二階導數為零不足以證明拐點。
先思考，待同學準備好再展開提示。
02 / 鞏固#示範例題
求 x³−6x²+3x 的拐點。
f=x3−6x2+3xf=x^3-6x^2+3x
已提供首步，請接續推理：找出 f″ 變號位置後，代入 f 而不是 f′。
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
找出 f″ 變號位置後，代入 f 而不是 f′。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′′=6x−12=6(x−2)f''=6x-12=6(x-2)
完整解答
  1. 找出 f″ 變號位置後，代入 f 而不是 f′。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′′=6x−12=6(x−2)f''=6x-12=6(x-2)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f(2)=8−24+6=−10f(2)=8-24+6=-10
  4. 拐點須包含兩個坐標。
(2,−10)。
檢查與易錯點：拐點須包含兩個坐標。
推理清單・自評／教師評核
  • 找出 f″ 變號位置後，代入 f 而不是 f′。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 拐點須包含兩個坐標。
先思考，待同學準備好再展開提示。
03 / 遷移#示範例題
證明 x³+x 在零有拐點，但切線不是水平。
f=x3+xf=x^3+x
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分別檢查凹凸性及切線斜率。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′′=6x changes signf''=6x\text{ changes sign}
完整解答
  1. 分別檢查凹凸性及切線斜率。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′′=6x changes signf''=6x\text{ changes sign}
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(0)=1; y=xf'(0)=1;\ y=x
  4. 拐點不必為駐點。
拐點 (0,0)，切線 y=x。
檢查與易錯點：拐點不必為駐點。
推理清單・自評／教師評核
  • 分別檢查凹凸性及切線斜率。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 拐點不必為駐點。
先思考，待同學準備好再展開提示。
04 / 基礎#獨立練習
f=x³，求 f″(−1)。
f=x3f=x^3
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
求導兩次，保留自變量的正負號。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′=3x2; f′′=6xf'=3x^2;\ f''=6x
完整解答
  1. 求導兩次，保留自變量的正負號。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′=3x2; f′′=6xf'=3x^2;\ f''=6x
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′′(−1)=−6f''(-1)=-6
  4. 一階導數值 3 不是二階導數值。
所求值為 -6。
檢查與易錯點：一階導數值 3 不是二階導數值。
先思考，待同學準備好再展開提示。
05 / 基礎#獨立練習
x² 有拐點嗎？
f=x2f=x^2
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
找凹凸性轉變，不是極小值。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′′=2>0f''=2>0
完整解答
  1. 找凹凸性轉變，不是極小值。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′′=2>0f''=2>0
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    no concavity change\text{no concavity change}
  4. 有極小值不代表有拐點。
沒有；f″=2 處處為正。
檢查與易錯點：有極小值不代表有拐點。
推理清單・自評／教師評核
  • 找凹凸性轉變，不是極小值。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 有極小值不代表有拐點。
先思考，待同學準備好再展開提示。
06 / 基礎#獨立練習
解釋為何零不是 x⁴ 的拐點。
f=x4f=x^4
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
檢查零點兩側的正負號。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′′(0)=0f''(0)=0
完整解答
  1. 檢查零點兩側的正負號。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′′(0)=0f''(0)=0
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′′(x)=12x2>0 (x≠0)f''(x)=12x^2>0\ (x\ne0)
  4. 候選點方程不是充分條件。
f″=12x² 沒有變號。
檢查與易錯點：候選點方程不是充分條件。
推理清單・自評／教師評核
  • 檢查零點兩側的正負號。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 候選點方程不是充分條件。
先思考，待同學準備好再展開提示。
07 / 基礎#獨立練習
x³−3x² 在哪裡向上凹？
f=x3−3x2f=x^3-3x^2
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
解二階導數嚴格為正的不等式。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′′=6x−6f''=6x-6
完整解答
  1. 解二階導數嚴格為正的不等式。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′′=6x−6f''=6x-6
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    6x−6>0  ⟺  x>16x-6>0\iff x>1
  4. 遞增及向上凹是不同性質。
x>1。
檢查與易錯點：遞增及向上凹是不同性質。
推理清單・自評／教師評核
  • 解二階導數嚴格為正的不等式。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 遞增及向上凹是不同性質。
先思考，待同學準備好再展開提示。
08 / 鞏固#獨立練習
求 x⁴−6x² 的拐點橫坐標。
f=x4−6x2f=x^4-6x^2
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分解二階導數並檢查每次變號。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′′=12(x2−1)f''=12(x^2-1)
完整解答
  1. 分解二階導數並檢查每次變號。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′′=12(x2−1)f''=12(x^2-1)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    signs: +,−,+; x=±1\text{signs: }+,-,+;\ x=\pm1
  4. 此處 f″ 的兩個根均引起凹凸性轉變。
x=−1 及 x=1。
檢查與易錯點：此處 f″ 的兩個根均引起凹凸性轉變。
推理清單・自評／教師評核
  • 分解二階導數並檢查每次變號。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 此處 f″ 的兩個根均引起凹凸性轉變。
先思考，待同學準備好再展開提示。
09 / 鞏固#獨立練習
f′ 在 x=2 有嚴格局部極大，且可微，f″ 左正右負，f 發生甚麼？
f′′>0 (x<2); f′′<0 (x>2)f''>0\ (x<2);\ f''<0\ (x>2)
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把導數圖的升降轉成 f 的凹凸性。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′ rises then fallsf'\text{ rises then falls}
完整解答
  1. 把導數圖的升降轉成 f 的凹凸性。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′ rises then fallsf'\text{ rises then falls}
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f changes from concave up to concave downf\text{ changes from concave up to concave down}
  4. f′ 的極大不自動成為 f 的極大。
若 f 在該點有定義且連續，則 x=2 為拐點。
檢查與易錯點：f′ 的極大不自動成為 f 的極大。
推理清單・自評／教師評核
  • 把導數圖的升降轉成 f 的凹凸性。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • f′ 的極大不自動成為 f 的極大。
先思考，待同學準備好再展開提示。
10 / 鞏固#獨立練習
零可以是 1/x 的拐點嗎？
f=1/x; x≠0f=1/x;\ x\ne0
  • 有理式分母須非零，被排除自變量不是曲線上的點。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
解釋變號前先檢查定義域。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′′=2/x3f''=2/x^3
完整解答
  1. 解釋變號前先檢查定義域。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′′=2/x3f''=2/x^3
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    0∉dom⁡(f)0\notin\operatorname{dom}(f)
  4. 跨越缺口的凹凸性轉變不會在缺口產生拐點。
不可以；零不是曲線上的點。
檢查與易錯點：跨越缺口的凹凸性轉變不會在缺口產生拐點。
推理清單・自評／教師評核
  • 解釋變號前先檢查定義域。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 跨越缺口的凹凸性轉變不會在缺口產生拐點。
先思考，待同學準備好再展開提示。
11 / 鞏固#獨立練習
在 x³−3x²+4 的拐點，求切線斜率。
f=x3−3x2+4f=x^3-3x^2+4
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先找凹凸性轉變，再代入一階導數。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′′=6(x−1)  ⟹  x=1f''=6(x-1)\implies x=1
完整解答
  1. 先找凹凸性轉變，再代入一階導數。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′′=6(x−1)  ⟹  x=1f''=6(x-1)\implies x=1
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    f′(1)=3−6=−3f'(1)=3-6=-3
  4. 該處二階導數為零，但切線斜率不必為零。
所求值為 -3。
檢查與易錯點：該處二階導數為零，但切線斜率不必為零。
先思考，待同學準備好再展開提示。
12 / 遷移#獨立練習
f=x⁴+kx²，何時有兩個不同拐點？
f=x4+kx2f=x^4+kx^2
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
分類二階導數根，並處理邊界 k=0。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
f′′=12x2+2kf''=12x^2+2k
完整解答
  1. 分類二階導數根，並處理邊界 k=0。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    f′′=12x2+2kf''=12x^2+2k
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    k<0:x=±−k/6, +,−,+; k≥0: no sign changek<0:x=\pm\sqrt{-k/6},\ +,-,+;\ k\ge0:\ \text{no sign change}
  4. k=0 的重根沒有拐點。
恰為 k<0，位於 x=±√(−k/6)。
檢查與易錯點：k=0 的重根沒有拐點。
推理清單・自評／教師評核
  • 分類二階導數根，並處理邊界 k=0。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • k=0 的重根沒有拐點。
先思考，待同學準備好再展開提示。
13 / 遷移#獨立練習
f=x⁴ 在零的切線為 y=0。比較 x³，說明為何只有後者的凹凸性轉變符合拐點。
f=x4; g=x3f=x^4;\ g=x^3
  • 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
對兩個多項式同時比較切線及二階導數。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
x4≥0; x3 changes sign at 0x^4\ge0;\ x^3\text{ changes sign at }0
完整解答
  1. 對兩個多項式同時比較切線及二階導數。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    x4≥0; x3 changes sign at 0x^4\ge0;\ x^3\text{ changes sign at }0
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    (x4)′′=12x2; (x3)′′=6x(x^4)''=12x^2;\ (x^3)''=6x
  4. 沒有條件時，不應把視覺上的跨切線現象當成普遍判別法。
x⁴ 位於切線上方且凹凸性不變；x³ 跨越切線，且二階導數變號。
檢查與易錯點：沒有條件時，不應把視覺上的跨切線現象當成普遍判別法。
推理清單・自評／教師評核
  • 對兩個多項式同時比較切線及二階導數。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 沒有條件時，不應把視覺上的跨切線現象當成普遍判別法。
先思考，待同學準備好再展開提示。
專注一道題目
課末檢核與訂正
回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。
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    教師備課與評核
    40 分鐘教案
    分鐘環節教師及學生任務
    5預測求導前比較 x³ 及 x⁴ 在零的形狀。
    8建立概念示例回答：6x 變號，12x² 不變號。
    10引導比較示例回答：x³+x 在零有拐點，切線斜率為一。
    12獨立練習與討論用導數圖解釋參數及切線比較兩道遷移題。
    5課末檢核與下一步課末：分別檢查定義域、凹凸性轉變及切線斜率。
    提問順序
    • 求導前比較 x³ 及 x⁴ 在零的形狀。
    • 示例回答：x³+x 在零有拐點，切線斜率為一。
    板書發展
    • 凹凸性是斜率的改變
      f′′>0: concave upf''>0:\ \text{concave up}
    預期正誤回答
    • 正確示例：x³
    • 預期錯答：x²；把極小值當成凹凸性轉變。
    • 預期錯答：0；假設拐點必有水平切線。
    • 混淆拐點及水平切線。
    • 忽略定義域缺口。
    追問
    • 追問：檢查二階導數符號。 再解釋 x² 為何不成立。
    • 追問：用 f″ 定位，再用 f′ 求斜率。 再解釋 0 為何不成立。
    • 解釋兩拐點消失為何不表示零處極小值消失。
    補救
    • 示例回答：6x 變號，12x² 不變號。
    • 返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。
    離堂檢核
    • 課末：分別檢查定義域、凹凸性轉變及切線斜率。
    評核清單與作答示例
    • 表示法及條件
      候選點須在曲線上，且兩側凹凸性須轉變。
    • 連貫數學推理
      x³−6x²+3x 的 f″=6(x−2) 變號，f(2)=−10。
    • 解釋及邊界檢查
      k=0 時 x⁴ 的 f″=12x² 在兩側均非負，故無拐點。
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    教材與來源說明 ↗