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學習・解釋・訂正

證明 x³+x 在零有拐點，但切線不是水平。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高二選擇性必修第二册(A版).pdf · 5.3 · PDF 89 / 印刷頁 84

先重溫：求導法則與定義域單調性與受限極值

專題 01

凹凸性、拐點與導數圖

確認曲線上一點的凹凸性轉變，區分拐點及駐點。

學完之後，你能解釋

確認曲線上一點的凹凸性轉變，區分拐點及駐點。
解讀二階導數符號及參數退化情況。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 遷移#示範例題

證明 x³+x 在零有拐點，但切線不是水平。

f=x^3+x

使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。

考點與先備課節

範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

分別檢查凹凸性及切線斜率。

提示 2

先從這個中間關係式入手。

f''=6x\text{ changes sign}

完整解答

分別檢查凹凸性及切線斜率。
建立並化簡此數學關係式。
$f''=6x\text{ changes sign}$
建立並化簡此數學關係式。
$f'(0)=1;\ y=x$
拐點不必為駐點。

拐點 (0,0)，切線 y=x。

檢查與易錯點：拐點不必為駐點。

推理清單・自評／教師評核

分別檢查凹凸性及切線斜率。
列出中間關係，連同限制解釋結論。
拐點不必為駐點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	預測	求導前比較 x³ 及 x⁴ 在零的形狀。
8	建立概念	示例回答：6x 變號，12x² 不變號。
10	引導比較	示例回答：x³+x 在零有拐點，切線斜率為一。
12	獨立練習與討論	用導數圖解釋參數及切線比較兩道遷移題。
5	課末檢核與下一步	課末：分別檢查定義域、凹凸性轉變及切線斜率。

提問順序

求導前比較 x³ 及 x⁴ 在零的形狀。
示例回答：x³+x 在零有拐點，切線斜率為一。

板書發展

凹凸性是斜率的改變
$f''>0:\ \text{concave up}$

預期正誤回答

正確示例：x³
預期錯答：x²；把極小值當成凹凸性轉變。
預期錯答：0；假設拐點必有水平切線。
混淆拐點及水平切線。
忽略定義域缺口。

追問

追問：檢查二階導數符號。再解釋 x² 為何不成立。
追問：用 f″ 定位，再用 f′ 求斜率。再解釋 0 為何不成立。
解釋兩拐點消失為何不表示零處極小值消失。

補救

示例回答：6x 變號，12x² 不變號。
返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。

離堂檢核

課末：分別檢查定義域、凹凸性轉變及切線斜率。

評核清單與作答示例

表示法及條件
候選點須在曲線上，且兩側凹凸性須轉變。
連貫數學推理
x³−6x²+3x 的 f″=6(x−2) 變號，f(2)=−10。
解釋及邊界檢查
k=0 時 x⁴ 的 f″=12x² 在兩側均非負，故無拐點。