f=(3x+1)²，求 f′(0)。
- 使用題述實定義域，區分駐點候選、可取得極值及實際凹凸性轉變。
考點與先備課節
範圍：JM02 · 本題使用 JAE 考綱列明的基本概率法則或多項式微積分。
最近作答（最多五次）
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
保留外層及內層導數。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
完整解答
保留外層及內層導數。
建立並化簡此數學關係式。
建立並化簡此數學關係式。
內層因子為 3。
6
檢查與易錯點：內層因子為 3。
先思考，待同學準備好再展開提示。
學習・解釋・訂正
f=(3x+1)²，求 f′(0)。
先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。
專題 01
求導法則與定義域
按式子結構選冪、乘積、商或鏈式法則，保留定義域。
學完之後，你能解釋
- 按式子結構選冪、乘積、商或鏈式法則，保留定義域。
- 反求未知內層變化率，檢查遺漏的導數因子。
試一試，把思路寫下來。
每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。
教師備課與評核
40 分鐘教案
| 分鐘 | 環節 | 教師及學生任務 |
|---|---|---|
| 5 | 預測 | 展開前預測 x·x 的導數。 |
| 8 | 建立概念 | 示例回答：每個因子各貢獻 1·x，總和為 2x。 |
| 10 | 引導比較 | 示例回答：F′(2)=4g′(4)=24，故 g′(4)=6。 |
| 12 | 獨立練習與討論 | 按最外層運算分類，再比較多項式及延伸題的定義域。 |
| 5 | 課末檢核與下一步 | 課末：(3x+1)² 的導數為 6(3x+1)，ln(3x−2) 須 x>2/3。 |
提問順序
- 展開前預測 x·x 的導數。
- 示例回答：F′(2)=4g′(4)=24，故 g′(4)=6。
板書發展
- 依結構求導
預期正誤回答
- 正確示例：6
- 預期錯答：2；複合函數求導時漏掉內層導數。
- 預期錯答：6x³；把導數相乘，沒有相加兩個乘積法則項。
- 漏掉內層導數。
- 把原運算法則直接套用為導數相乘或相除。
追問
- 追問：保留外層及內層導數。 再解釋 2 為何不成立。
- 追問：先合併次方，再求導。 再解釋 6x³ 為何不成立。
- k=0 時解釋為何函數為常數且導數為零。
補救
- 示例回答：每個因子各貢獻 1·x，總和為 2x。
- 返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。
離堂檢核
- 課末：(3x+1)² 的導數為 6(3x+1)，ln(3x−2) 須 x>2/3。
評核清單與作答示例
- 表示法及條件
兩因子均可微，(uv)′=u′v+uv′。
- 連貫數學推理
(x²+1)(x−2) 的導數為 2x(x−2)+(x²+1)=3x²−4x+1。
- 解釋及邊界檢查
ln(3x−2) 須 x>2/3，不只是 x≠2/3。