三角形的向量證明

1. 中點位置為邊向量一半。

   $$AD=u/2,\ AE=v/2$$

2. 相減並辨認BC。

   $$DE=(v-u)/2=BC/2$$

DE平行BC，長度為BC一半。

檢查與易錯點：相減次序決定有向符號。

1. 用數量積展開。

   $$a^2=|v-u|^2=b^2+c^2-2u\cdot v$$

2. 代入夾角關係。

   $$u\cdot v=bc\cos A$$

a²=b²+c²−2bc cos A。

檢查與易錯點：所用角必須是兩個已知邊向量的夾角。

1. 取A為原點，設u＝AB、v＝AC，再合併和與差的模平方恆等式。

   $$|u+v|^2=2b^2+2c^2-a^2$$

2. 中線向量為和向量一半。

   $$AM^2=(2b^2+2c^2-a^2)/4$$

AM²=(2b²+2c²−a²)/4。

檢查與易錯點：向量減半，模平方便除以四。

1. 辨識底及高。

   $$b=6,\ h=4$$

2. 取長方形面積一半。

   $$S=6\cdot4/2=12$$

面積12。

檢查與易錯點：AC不是垂直高。

1. 代入夾角。

   $$a^2=3^2+5^2-2(3)(5)\cos60^\circ$$

2. 計算。

   $$a^2=34-15=19$$

邊長平方為19。

檢查與易錯點：所求為平方，不是√19。

1. 用重心在AM上的位置。

   $$AG=\frac23 AM$$

2. 代入中線長。

   $$AG=6$$

AG=6。

檢查與易錯點：較短的三分之一是GM，不是AG。

1. 求邊向量。

   $$AB=(2,1),\ AC=(-1,2)$$

2. 兩者非零且正交。

   $$AB\cdot AC=-2+2=0$$

是，∠A=90°。

檢查與易錯點：把AC換成BC會檢驗另一個角。

1. 改寫由A起的位移。

   $$G-A=\frac23(M-A)$$

2. B、C亦有同樣方程。

   $$G-B=\frac23((A+C)/2-B)$$

3. 因此三條中線均包含G。

三中線交於G，並由頂點起按2:1分割。

檢查與易錯點：只證明一條中線並不足以證明共點。

1. 計算行列式。

   $$\det(u,v)=2-12=-10$$

2. 把有向平行四邊形面積轉成三角形面積。

   $$S=|-10|/2=5$$

面積5。

檢查與易錯點：負方向不代表實際面積為負。

1. 交叉乘積抵消。

   $$(u+v)\cdot(v-u)=|v|^2-|u|^2=0$$

2. 非退化菱形的兩對角線均非零。

對角線互相垂直。

檢查與易錯點：只有對邊平行只得平行四邊形，其對角線不一定垂直。

1. 底邊一半為3。

   $$AM^2=5^2-3^2$$

2. 取正長度。

   $$AM=4$$

AM=4。

檢查與易錯點：中線公式與等腰直角三角形方法一致。

1. 把垂直化為代數。

   $$0=(u+v)\cdot(v-u)=|v|^2-|u|^2$$

2. 正邊長相等；對邊本來已相等。

   $$|u|=|v|$$

四邊相等，因此是菱形。

檢查與易錯點：逆命題須有平行四邊形假設；任意對角線垂直的四邊形不足夠。

1. AB為水平，故CH垂直AB要求H＝(2,h)；再令AH垂直BC。

   $$(2,h)\cdot(-4,4)=0\Rightarrow h=2$$

2. 檢查剩下的一條高。

   $$BH=(-4,2),\ AC=(2,4),\ BH\cdot AC=0$$

H=(2,2)；CH⊥AB、AH⊥BC、BH⊥AC。

檢查與易錯點：高垂直對邊，不是鄰邊。