非退化平行四邊形的對角線垂直，證明它是菱形。
考點與先備課節
範圍：JM02
最近作答（最多五次）
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
由題目給出的對角線垂直開始。
提示 2
還原邊長平方相等。
完整解答
把垂直化為代數。
正邊長相等；對邊本來已相等。
四邊相等，因此是菱形。
檢查與易錯點：逆命題須有平行四邊形假設；任意對角線垂直的四邊形不足夠。
推理清單・自評／教師評核
- 四邊相等，因此是菱形。
- 逆命題須有平行四邊形假設；任意對角線垂直的四邊形不足夠。
先思考，待同學準備好再展開提示。
學習・解釋・訂正
非退化平行四邊形的對角線垂直，證明它是菱形。
先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。
專題 01
三角形的向量證明
把幾何假設轉為向量方程，清楚列出條件地證明中點、重心及垂心性質。
學完之後，你能解釋
- 選擇方便原點而不改變幾何命題。
- 由模平方推導中線公式。
- 分清定理、逆命題及不退化條件。
試一試，把思路寫下來。
每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。
例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。
教師備課與評核
40 分鐘教案
| 分鐘 | 環節 | 教師及學生任務 |
|---|---|---|
| 5 | 預測與診斷 | 比較一個數值三角形與全稱命題。 |
| 8 | 概念推導 | 取A為原點，推導中點及中線恆等式。 |
| 10 | 引導應用 | 用數量積驗證直角及垂心。 |
| 12 | 遷移與解釋 | 證明菱形逆命題並討論遺漏假設。 |
| 5 | 離堂證據 | 修正結論缺乏依據的一行證明。 |
提問順序
- 哪個原點令兩個頂點位置最簡單？
- 平行四邊形假設在哪一步使用？
板書發展
- 按已知、向量翻譯、恆等式、結論四行排列。
- 求垂心時，逐條寫高線數量積方程，並驗證第三條。
預期正誤回答
- 學生因對角線等長便稱垂直；展開數量積以找出真正的邊長條件。
- 正確作答：「平行四邊形假設令對角線向量為u＋v及v−u。」
- 錯誤作答：「所有對角線垂直的四邊形都是菱形。」
追問
- 共線點仍可計算重心公式嗎？公式會令三角形變不退化嗎？
補救
- 先做中點相減E−D，再引入長度公式。
離堂檢核
- 補出「對角線垂直推出菱形」缺少的假設。
評核清單與作答示例
- 評核原點選擇、有向向量及回到幾何結論。示例：(u＋v)·(u−v)＝|u|²−|v|²，故平行四邊形對角線垂直推出鄰邊等長。
正確作答：「平行四邊形假設令對角線向量為u＋v及v−u。」