數量積與受限投影

1. 把兩乘積相加。

   $$u\cdot v=6-4=2$$

2. 餘弦為正，表示銳角。

數量積2；夾角為銳角。

檢查與易錯點：數量積是標量，不是坐標對。

1. 標準化數量積為1/√2。

   $$\cos\theta=1/(1\cdot\sqrt2)$$

2. 取[0°,180°]內的角。

   $$\theta=45^\circ$$

45°。

檢查與易錯點：向量夾角使用指定主值區間。

1. 寫出距離平方。

   $$|v-tu|^2=(3-2t)^2+16$$

2. 射影處的平方項為零。

   $$t=3/2,\ v-tu=(0,4)$$

t=3/2；最小距離4。

檢查與易錯點：|u|≠1時，係數t不等於射影長度。

1. 建立標量方程。

   $$k+2\cdot3=0$$

2. 求參數。

   $$k=-6$$

k=−6。

檢查與易錯點：平行用行列式，不是數量積為零。

1. 使用模平方恆等式。

   $$|u+v|^2=|u|^2+2u\cdot v+|v|^2$$

2. 代入三個量。

   $$9+4+16=29$$

29。

檢查與易錯點：不可把2u·v誤成u·v。

1. 計算各方向貢獻。

   $$W=3\cdot2+4(-1)$$

2. 相加並加上焦耳單位。

   $$W=2\text{ J}$$

2焦耳。

檢查與易錯點：兩模直接相乘會忽略夾角。

1. 與軸的單位向量作數量積。

   $$v\cdot(1,0)=-3$$

2. 有符號射影須保留符號。

−3。

檢查與易錯點：射影線段長為3；有符號射影則為−3。

1. 用數量積對稱性。

   $$(u+v)\cdot(u-v)=|u|^2-|v|^2=0$$

2. 若兩結果向量均非零，夾角為90°；否則只使用數量積為零的敘述。

數量積為零；談夾角須兩向量均非零。

檢查與易錯點：u=v時差向量為零，夾角未定義。

1. 建立平方關係。

   $$16=4+9-2u\cdot v$$

2. 解標量方程。

   $$u\cdot v=-3/2$$

−3/2。

檢查與易錯點：負結果與鈍角一致。

1. 分母為零。

   $$|u||v|=0$$

2. 比值及向量夾角均未定義。

公式要求兩個非零向量。

檢查與易錯點：只有數量積零，不能為零向量指定夾角。

1. 計算兩個數量積。

   $$v\cdot u=10,\ u\cdot u=5$$

2. 求係數。

   $$t=10/5=2$$

t=2。

檢查與易錯點：分母應為模的平方。

1. 直線射影的x=3，不在[0,2]。

   $$|(x,0)-P|^2=(x-3)^2+16$$

2. 在[0,2]平方項遞減，因此最近點為端點。

   $$Q=B=(2,0),\ PQ=\sqrt{17}$$

B最近；距離√17。

檢查與易錯點：垂足在線段外時，不是可行最小點。

1. 展開數量積。

   $$(x+2)(x-2)+y^2=0$$

2. 辨識圓；端點亦使乘積為零。

   $$x^2+y^2=4$$

以AB為直徑的整個圓，包括端點。

檢查與易錯點：直角解釋排除端點，但代數軌跡不排除。