學生把u=0代入夾角公式，判定θ=90°。指出無效步驟。
考點與先備課節
範圍：JM02
最近作答（最多五次）
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
檢查分母。
提示 2
零除以零並非零。
完整解答
分母為零。
比值及向量夾角均未定義。
公式要求兩個非零向量。
檢查與易錯點：只有數量積零，不能為零向量指定夾角。
推理清單・自評／教師評核
- 公式要求兩個非零向量。
- 只有數量積零，不能為零向量指定夾角。
先思考，待同學準備好再展開提示。
學習・解釋・訂正
學生把u=0代入夾角公式，判定θ=90°。指出無效步驟。
先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。
專題 01
數量積與受限投影
連結有向投影、夾角及距離平方，分辨直線投影與線段最近點。
學完之後，你能解釋
- 解釋數量積的符號。
- 正確展開向量模的平方。
- 解釋夾角或最小點前，檢查零向量及線段端點。
試一試，把思路寫下來。
每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。
例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。
教師備課與評核
40 分鐘教案
| 分鐘 | 環節 | 教師及學生任務 |
|---|---|---|
| 5 | 預測與診斷 | 比較正功、零功及負功。 |
| 8 | 概念推導 | 由餘向量數量積為零推導投影。 |
| 10 | 引導應用 | 計算並分辨投影係數與長度。 |
| 12 | 遷移與解釋 | 解線段最近點及包含端點的圓軌跡。 |
| 5 | 離堂證據 | 解釋零向量夾角例外。 |
提問順序
- 距離非負，功為何可以是負？
- 垂足是否總在線段上？
板書發展
- 把係數t、有向投影長t|u|及向量tu分三欄。
- 畫線段外垂足，標明可行參數範圍。
預期正誤回答
- 學生求t時除以|u|而非|u|²；請他寫tu並檢查餘向量數量積。
- 正確作答：「係數是1.5，但有向投影長度是3。」
- 錯誤作答：「投影係數與投影長度總相同。」
追問
- 只改變u長度而不改方向，t及tu各如何改變？
補救
- 把(3,4)投影到(2,0)，標係數1.5、投影長3及向量(3,0)。
離堂檢核
- 列出把數量積商解釋為餘弦前所需的兩個非零條件。
評核清單與作答示例
- 分別評核展開式、可行參數範圍及幾何解釋。示例：t＝3/2不在[0,1]，故線段最近點在t＝1。
正確作答：「係數是1.5，但有向投影長度是3。」