學習・解釋・訂正

坐標、基底與分點

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修第二册(A版).pdf · 6.3 · PDF 32 / 印刷頁 25

先重溫：向量作為位移

專題 01

坐標、基底與分點

把箭頭化為坐標、還原未知端點，檢查基底能否唯一決定坐標。

學完之後，你能解釋

按正確次序相減端點。
用仿射權重求中點、分點及重心。
分辨獨立基底與平行生成向量。

坐標需要原點及獨立方向

由重心還原頂點是逆問題，須先理解權重才計算。

向量是終點減起點；權重和為一的仿射組合不受原點平移影響。兩個平行方向不能唯一表示平面坐標。

P=(1-t)A+tB,\quad\det(e_1,e_2)\ne0

從A走AB的t倍便得到分點。
$P=A+t(B-A)$
獨立列向量令係數解唯一。
$ae_1+be_2=v$

成立條件

內分要求0<t<1。
平面基底的行列式須非零。

反例：(1,2)、(2,4)只能生成一直線；(3,6)有無限多組係數。

端點圖↔位移方程↔兩條聯立純量方程。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：預測移動分點何時在AB內。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

P＝(1−t)A＋tB。內分要求0<t<1；t在[0,1]外給外分。

圖像的數值資料，可列印
量	數值
t	0.5
P	1, 2
AP	3.16227766
PB	3.16227766

解釋：P＝A＋t(B−A)同時適用內分及外分，只是t的範圍不同。

遷移：找出令AP為PB兩倍的外分權重，並與內分解區別。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 基礎#示範例題

求向量AB，並解釋其符號。

A=(-1,2),\ B=(3,-4)

考點與先備課節

範圍：JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

減去起點坐標。

提示 2

向下位移的y分量為負。

完整解答

逐分量相減。
$AB=(3-(-1),-4-2)=(4,-6)$
即向右四、向下六。

AB=(4,−6)。

檢查與易錯點：A−B求得的是BA。

推理清單・自評／教師評核

AB=(4,−6)。
A−B求得的是BA。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

把v寫成ae₁+be₂。

e_1=(1,1),\ e_2=(1,-1),\ v=(6,2)

已提供首步，請接續推理：基底給出兩條聯立方程。

a+b=6,\ a-b=2

考點與先備課節

範圍：JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

令兩坐標分別相等。

提示 2

把方程相加及相減。

完整解答

基底給出兩條聯立方程。
$a+b=6,\ a-b=2$
求解並代回檢查。
$a=4,\ b=2;\ 4(1,1)+2(1,-1)=(6,2)$

v=4e₁+2e₂。

檢查與易錯點：基底係數不一定等於直角坐標。

推理清單・自評／教師評核

v=4e₁+2e₂。
基底係數不一定等於直角坐標。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

證明A、B、C共線，並指出C相對AB的位置。

A=(0,0),B=(2,3),C=(4,6)

考點與先備課節

範圍：JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

比較AC與AB。

提示 2

倍數大於一，表示C在B之外。

完整解答

位移成比例。
$AC=(4,6)=2AB$
因2>1，C在射線AB上且越過B。

三點共線；B為AC中點。

檢查與易錯點：通過A的位移向量平行可推出共線；只有等長則不可。

推理清單・自評／教師評核

三點共線；B為AC中點。
通過A的位移向量平行可推出共線；只有等長則不可。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求中點的x坐標。

A=(-2,4),\ B=(6,-2)

考點與先備課節

範圍：JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

取x坐標平均。

提示 2

中點代表權重相等。

完整解答

使用中點公式。
$M=(A+B)/2$
求第一坐標。
$M_x=(-2+6)/2=2$

x=2。

檢查與易錯點：不可把x坐標與y坐標取平均。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

由A及AB求B。

A=(3,-1),\ AB=(-5,4)

考點與先備課節

範圍：JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

終點等於起點加位移。

提示 2

再減A作檢查。

完整解答

加上位移。
$B=(3,-1)+(-5,4)=(-2,3)$
還原已知箭頭。
$B-A=(-5,4)$

B=(−2,3)。

檢查與易錯點：除非A是原點，否則AB不是B的位置。

推理清單・自評／教師評核

B=(−2,3)。
除非A是原點，否則AB不是B的位置。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求AB距離。

A=(1,1),\ B=(4,5)

考點與先備課節

範圍：JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先形成位移。

提示 2

再求長度。

完整解答

端點相減。
$B-A=(3,4)$
用歐氏模。
$AB=\sqrt{9+16}=5$

AB=5。

檢查與易錯點：交換相減次序不改變距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求k，使u與v平行。

u=(2,3),\ v=(4,k)

考點與先備課節

範圍：JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

x分量加倍。

提示 2

兩分量須用相同倍數。

完整解答

非零第一分量決定倍數。
$v=2u$
第二分量加倍。
$k=2\cdot3=6$

k=6。

檢查與易錯點：只匹配一個坐標並不足夠。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

P內分AB，AP:PB=2:1，求P。

A=(0,0),\ B=(9,6)

考點與先備課節

範圍：JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

P由A出發走到三分之二處。

提示 2

較接近P的端點有較大權重。

完整解答

使用仿射內分。
$P=A+\frac23(B-A)$
計算並比較線段長度。
$P=(6,4),\ AP=2PB$

P=(6,4)。

檢查與易錯點：使用三分之一會倒轉比例。

推理清單・自評／教師評核

P=(6,4)。
使用三分之一會倒轉比例。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

ae₁+be₂=v能否唯一決定a、b？描述所有解。

e_1=(1,2),\ e_2=(2,4),\ v=(3,6)

考點與先備課節

範圍：JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

第二向量是第一向量的兩倍。

提示 2

兩坐標方程只給一個條件。

完整解答

化簡相依方程組。
$a+2b=3$
仍有一個自由參數。
$(a,b)=(3-2t,t),\ t\in\mathbb R$

有無限多種表示。

檢查與易錯點：兩向量線性獨立時才構成平面基底。

推理清單・自評／教師評核

有無限多種表示。
兩向量線性獨立時才構成平面基底。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求重心的y坐標。

A=(0,0),B=(6,0),C=(0,9)

考點與先備課節

範圍：JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

三頂點權重相等。

提示 2

只取y坐標平均。

完整解答

使用重心位置向量關係。
$G=(A+B+C)/3$
計算垂直坐標。
$G_y=(0+0+9)/3=3$

Gᵧ=3。

檢查與易錯點：重心通常不是外接矩形中心。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

對哪些實數k，兩向量可作平面基底？

e_1=(1,2),\ e_2=(k,4)

考點與先備課節

範圍：JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

基底排除平行向量。

提示 2

檢查二階行列式。

完整解答

行列式檢驗獨立性。
$\det(e_1,e_2)=4-2k$
只排除使其為零的值。
$k\ne2$

所有實數k，但k≠2。

檢查與易錯點：各向量非零，仍可能相依。

推理清單・自評／教師評核

所有實數k，但k≠2。
各向量非零，仍可能相依。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

已知三角形A、B及重心G如下。還原C，並驗證三角形非退化。

A=(0,1),B=(4,0),G=(2,3)

考點與先備課節

範圍：JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先撤銷平均，再減去頂點。

提示 2

檢查AB及AC是否平行。

完整解答

由重心方程求未知頂點。
$C=3G-A-B=(2,8)$
檢查面積行列式。
$\det((4,-1),(2,7))=30\ne0$

C=(2,8)；面積15，故三角形非退化。

檢查與易錯點：重心條件仍須配合有效三角形。

推理清單・自評／教師評核

C=(2,8)；面積15，故三角形非退化。
重心條件仍須配合有效三角形。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

A為平行四邊形原點，邊向量為u、v。求P位置，判斷是否在內部。

u=(4,2),v=(-1,3),\ AP=\frac14u+\frac23v

考點與先備課節

範圍：JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

合併兩個數乘邊向量。

提示 2

獨立邊向量下，內部係數嚴格介乎0與1。

完整解答

計算仿射坐標。
$P=(1,1/2)+(-2/3,2)=(1/3,5/2)$
檢查獨立性及兩係數。
$\det(u,v)=14\ne0;\ 0<1/4,2/3<1$

P=(1/3,5/2)，嚴格位於內部。

檢查與易錯點：平行四邊形內部的兩係數之和不必等於一。

推理清單・自評／教師評核

P=(1/3,5/2)，嚴格位於內部。
平行四邊形內部的兩係數之和不必等於一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	預測與診斷	診斷端點相減次序錯誤。
8	概念推導	用位移推導分點及重心式。
10	引導應用	各解一個獨立及相依基底方程。
12	遷移與解釋	由重心還原三角形，驗證它不退化。
5	離堂證據	核對一個基底反例。

提問順序

哪一個相減次序給由A指向B的箭頭？
為何分點的權重和為一？

板書發展

代入分點公式前，先在數線標A、P、B。
並排展示獨立及相依基底方程，比較行列式。

預期正誤回答

學生把比例權重調轉；檢查較長AP是否令P靠近B。
正確作答：「P在由A至B的三分之二處，所以P＝(6,4)。」
錯誤作答：「AP:PB＝2:1，所以P＝(A＋2B)/2。」

追問

把所有頂點平移同一向量，重心如何移動？

補救

先用A＝0、B＝9定位2:1內分，再處理兩個坐標。

離堂檢核

給一對相依向量及一個它們無法表示的向量。

評核清單與作答示例

要求端點次序、正確仿射權重及使用基底時的唯一性檢查。示例：G＝(A＋B＋C)/3，故C＝3G−A−B。
正確作答：「P在由A至B的三分之二處，所以P＝(6,4)。」