ae₁+be₂=v能否唯一決定a、b？描述所有解。
考點與先備課節
範圍：JM02
最近作答（最多五次）
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
第二向量是第一向量的兩倍。
提示 2
兩坐標方程只給一個條件。
完整解答
化簡相依方程組。
仍有一個自由參數。
有無限多種表示。
檢查與易錯點：兩向量線性獨立時才構成平面基底。
推理清單・自評／教師評核
- 有無限多種表示。
- 兩向量線性獨立時才構成平面基底。
先思考，待同學準備好再展開提示。
學習・解釋・訂正
ae₁+be₂=v能否唯一決定a、b？描述所有解。
先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。
專題 01
坐標、基底與分點
把箭頭化為坐標、還原未知端點，檢查基底能否唯一決定坐標。
學完之後，你能解釋
- 按正確次序相減端點。
- 用仿射權重求中點、分點及重心。
- 分辨獨立基底與平行生成向量。
試一試，把思路寫下來。
每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。
例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。
教師備課與評核
40 分鐘教案
| 分鐘 | 環節 | 教師及學生任務 |
|---|---|---|
| 5 | 預測與診斷 | 診斷端點相減次序錯誤。 |
| 8 | 概念推導 | 用位移推導分點及重心式。 |
| 10 | 引導應用 | 各解一個獨立及相依基底方程。 |
| 12 | 遷移與解釋 | 由重心還原三角形，驗證它不退化。 |
| 5 | 離堂證據 | 核對一個基底反例。 |
提問順序
- 哪一個相減次序給由A指向B的箭頭？
- 為何分點的權重和為一？
板書發展
- 代入分點公式前，先在數線標A、P、B。
- 並排展示獨立及相依基底方程，比較行列式。
預期正誤回答
- 學生把比例權重調轉；檢查較長AP是否令P靠近B。
- 正確作答：「P在由A至B的三分之二處，所以P＝(6,4)。」
- 錯誤作答：「AP:PB＝2:1，所以P＝(A＋2B)/2。」
追問
- 把所有頂點平移同一向量，重心如何移動？
補救
- 先用A＝0、B＝9定位2:1內分，再處理兩個坐標。
離堂檢核
- 給一對相依向量及一個它們無法表示的向量。
評核清單與作答示例
- 要求端點次序、正確仿射權重及使用基底時的唯一性檢查。示例：G＝(A＋B＋C)/3，故C＝3G−A−B。
正確作答：「P在由A至B的三分之二處，所以P＝(6,4)。」